Question

【题目】如图，C为线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△HAC与等边△DCB，连接DH.

（1）如图1，当∠DHC=90°时，求的值；

（2）在（1）的条件下，作点C关于直线DH的对称点E，连接AE，BE.求证：CE平分∠AEB.

（3）现将图1中的△DCB绕点C顺时针旋转一定角度α（0°<α<90°），如图2，点C关于直线DH的对称点为E，则（2）中的结论是否还成立，并证明.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）见解析

【解析】试题分析：

（1）由已知易得∠DCH=60°，结合∠DHC=90°，可得∠CDH=30°，从而可得CD=2CH，结合AC=CH，BC=CD，即可得到的比值；

（2）如图1，由点C和点E关于DH对称，易得EH=CH=AH，点E、H、C三点共线，从而可得∠AEC=∠EAH=∠AHC=30°；由（1）可得BC=2CH=EC，从而可得∠BEC=∠EBC∠ACE=30°；这样可得∠AEC=∠BEC，即可得到EC平分∠AEB的结论；

（3）如图2，由点C和点E关于DH对称，易得EH=CH=AH，由此可得点A、E、C三点都在以H为圆心，AH为半径的圆上，则由圆周角定理可得∠AEC=∠AHC=30°；同理，由点C和点E关于DH对称，可得DE=DC=DB，由此可得点E、C、B都在以D为圆心，DC为半径的圆上，由此可得∠BEC=∠BDC=30°，即可得到∠AEC=∠BEC，即可得到EC平分∠AEB的结论.

试题解析：

（1）∵△HAC与△DCB都是等边三角形，

∴∠ACH=∠DCB=60°，AC=HC，BC=CD，

∴∠HCD=180°﹣∠ACH﹣∠DCB=60°，

∵∠DHC=90°，

∴∠HDC=180°﹣∠DHC﹣∠HCD=30°，

∴CD=2CH，

∴BC=2AC，

∴=2；

（2）如图1，由点C和点E关于DH对称可得：∠EHD=∠DHC=90°，EH=HC，

∴E、H、C三点共线，

∵AH=HC，

∴EH=AH，

∴∠AEC=∠EAH=∠AHC=30°，

由（1）可得BC=2CH=EC，

∴∠BEC=∠ACE=30°，

∴∠AEC=∠BEC，即CE平分∠AEB；

（3）结论仍然正确，理由如下：

如图2，由对称性可知：HC=HE，

又∵AH=HC，

∴HC=HA=HE，

∵A，C，E都在以H为圆心，HA为半径的圆上，

∴∠AEC=∠AHC=30°，

同理可得，∠BEC=∠BDC=30°，

∴∠AEC=∠BEC，

∴EC平分∠AEB．