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【题目】正方形ABCD的边长为6cm,点EM分别是线段BDAD上的动点,连接AE并延长,交边BCF,过MMNAF,垂足为H交边AB于点N.

(1)如图①,若点M与点D重合,求证:AFMN

(2)如图②,若点M从点D出发,以1cm/s的速度沿DA向点A运动,同时点E从点B出发,以cm/s的速度沿BD向点D运动,运动时间为ts.

①设BFycm,求y关于t的函数表达式;

②当BN2AN时,连接FN,求FN的长.

【答案】见解析

【解析】试题分析:(1)根据四边形的性质得到AD=AB,BAD=90°,由垂直的定义得到∠AHM=90°,由余角的性质得到∠BAF=AMH,根据全等三角形的性质即可得到结论;

(2)①根据勾股定理得到BD=6,由题意得,DM=t,BE=t,求得AM=6-t,DE=6-t,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论;

②根据已知条件得到AN=2,BN=4,根据相似三角形的性质得到BF=,由①求得BF=,得方程=,于是得到结论.

试题解析:

(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,

ADABDANFBA90°.

MNAF

∴∠NAHANH90°.

∵∠NDAANH90°

∴∠NAHNDA

∴△ABF≌△MAN

AFMN.

(2)①∵四边形ABCD为正方形,

ADBF

∴∠ADEFBE.

∵∠AEDBEF

∴△EBF∽△EDA

.

∵四边形ABCD为正方形,

ADDCCB6cm

BD6cm.

∵点E从点B出发,以cm/s的速度沿BD向点D运动,运动时间为ts

BEtcmDE(6t)cm

y.

②∵四边形ABCD为正方形,

∴∠MANFBA90°.

MNAF

∴∠NAHANH90°.

∵∠NMAANH90°

∴∠NAHNMA.

∴△ABF∽△MAN

.

BN2ANAB6cm

AN2cm.

t2

BF3(cm)

BN4cm

FN5(cm)

点睛: 本题主要考查正方形的性质和相似三角形、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点的综合应用.

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