Question

如图，小明同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小强同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.

（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，求A、B之间的距离；
（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC长约为多少？（结果保留根号）

Answer 1

（1）米；（2）米

试题分析：（1）在Rt△BPQ中，由∠B=30°，可得∠BPQ=60°，即可求得BQ的长，又在Rt△APQ中，∠PAB=∠APQ=45°，从而可求得AQ的长，即可得到结果；
（2）过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，可得AE的长，再在Rt△CAE中，即可得到结果.
（1）在Rt△BPQ中，PQ=10米，∠B=30°，
∴∠BPQ=90°-30°=60°，
则BQ=tan60°×PQ=，
又在Rt△APQ中，∠PAB=∠APQ=45°，
则AQ=tan45°×PQ=10，
即：AB=（）（米）；
（2）过A作AE⊥BC于E，

在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=，
∴AE=sin30°×AB=（）=（米）．
∵∠CAD=75°，∠B=30°，
∴∠C=45°，
在Rt△CAE中，sin45°=，
（米）．
点评：解答本题的关键是要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．