Question

【题目】如图，二次函数的图像交轴于，交轴于点，连接直线.

（1）求二次函数的解析式；

（2）点在二次函数的图像上，圆与直线相切，切点为.

①若在轴的左侧，且△∽△，求点的坐标；

②若圆的半径为4，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2 +x-2；（2）①点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（， ）；②点P的坐标为（， ）或（， ）．

【解析】试题分析：（1）将A、B两点的坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，从而可求得a、b的值；
（2）①由切线的性质可知PH⊥AC，当H在点C下方时，由△CHP∽△AOC可知∠PCH=∠CAO从而可证明CP∥x轴，于是得到yP=-2，yP=-2代入抛物线的解析式可求得x1=0（舍去），x2=-1，从而可求得P（-1，-2）；如图1，当H′在点C上方时，由相似三角形的性质可知：∠P′CH′=∠CAO，故此QA=QC，设OQ=m，则QC=QA=m+1，在Rt△QOC中，由勾股定理可求得m的值，从而得到点Q的坐标，然后利用待定系数法求得直线CP′的解析式为y=-x-2，然后将CP′与抛物线的解析式联立可求得点P′的坐标为（-， ）．
（3）在x轴上取一点D，如图（2），过点D作DE⊥AC于点E，使DE=4．在Rt△AOC中，由勾股定理可知AC=，由题意可知证明△AED∽△AOC，由相似三角形的性质可求得AD=2，故此可得到点D的坐标为D（1-2，0）或D（1+2，0），过点D作DP∥AC，交抛物线于P，利用待定系数法可求得直线AC的解析式为y=2x-2，于是得到直线PD的解析式为y=2x+4-2或y=2x-4-2，将直线PD的解析式与抛物线的解析式联立可求得点P的坐标．

试题解析：（1）∵将x=1，y=0，x=-2，y=0代入y=ax2+bx-2得，解得：

∴抛物线的解析式为y=x2+x-2．
（2）解①∵圆P与直线AC相切，
∴PH⊥span>AC．
（i）如图1，当H在点C下方时，

①∵△CHP∽△AOC，
∴∠PCH=∠CAO．
∴CP∥x轴．
∴yP=-2．
∴x2+x-2=-2．
解得x1=0（舍去），x2=-1，
∴P（-1，-2）．
（ii）如图1，当H′在点C上方时．
∵∠P′CH′=∠CAO，
∴QA=QC，
设OQ=m，则QC=QA=m+1，
在Rt△QOC中，由勾股定理，得m2+22=（m+1）2，解得，m=，即OQ=；
设直线CP′的解析式为y=kx-2，
把Q（-，0）的坐标代入，得k-2=0，解得k=-，∴y=-x-2，
由-x-2=x2+x-2，解得x1=0（舍去），x2=，此时y=-×（-）-2=，
∴P′（-， ）．
∴点P的坐标为（-1，-2）或（-， ）
②在x轴上取一点D，如图（2），过点D作DE⊥AC于点E，使DE=4．

在Rt△AOC中，AC=，
∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，
∴△AED∽△AOC．
∴，即，解得AD=2，
∴D（1-2，0）或D（1+2，0）．
过点D作DP∥AC，交抛物线于P，设直线AC的解析式为y=kx+b．
将点A、C的坐标代入抛物线的解析式得到：

解得：

∴直线AC的解析式为y=2x-2．
∴直线PD的解析式为y=2x+4-2或y=2x-4-2，
当2x+4-2=x2+x-2时，即x2-x-4=0，解得x1=，x2=；
当2x-4-2=x2+x-2时，即x2-x+4=0，方程无实数根．
∴点P的坐标为（， ）或（，-）．