Question

19．九（10）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x＜50）天的售价与销量的相关信息如下表：

时间x（天）	1≤x＜50	50≤x≤90
售价（元/件）	x+40	70
每天销量（件）	100-2x

已知该商品的进价为每件10元，设销售该商品的每天利润为y元
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于2400元？请直接写出结果．

Answer 1

分析 （1）分1≤x＜50、50≤x≤90两种情况，依据每天利润=每一件的利润×每天的销售量列式即可；
（2）在（1）中两个函数当中根据函数性质结合自变量的取值范围求出最大值，比较大小可得；
（3）分别求出在上述两种情况中利润y≥2400时x的范围，两个范围相结合即可得．

解答 解：（1）当1≤x＜50时，y=（x+40-10）（100-2x）=-2x²+40x+3000；
当50≤x≤90时，y=（70-10）（100-2x）=-120x+6000．
（2）当1≤x＜50时，y=-2x²+40x+3000=-（x-10）²+3200．
∴当x=10时，y有最大值，最大值为3200元．
当50≤x≤90时，y=-120x+6000，
∵k=-120＜0，
∴y随x的增大而减小．
∴当x=50时，y有最大值，最大值为0元．
综上可知，当x=10时，当天的销售利润最大，最大利润为3200元．
（3）当y=2400时，对于-2x²+40x+3000=2400，
解得：x=-10或x=30，
∴当1≤x≤30时，y≥2400；
当y=2400时，对于-120x+6000≥2400，
解得：x≤30；
综上所述，当1≤x≤30时，每天的销售利润不低于2400元．
答：该商品在销售过程中，共有30天每天销售利润不低于2400元．

点评 本题主要考查二次函数的应用能力，根据题意分类去求是根本，依据利润上的相等关系列出函数关系式是解题的关键．