Question

20．如图所示，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OC∥PE
（1）求证：PC=OC；
（2）若弦CD=12，求tan∠OPD的值．

Answer 1

分析 （1）由PG平分∠EPF可得∠CPO=∠APO，由OC∥PE可得∠COP=∠APO，得出∠CPO=∠COP，即可得出结论．
（2）过点O作OH⊥CD于H，如图2．根据垂径定理可得CH=DH=6，从而可求出PH，在Rt△CHO中，运用勾股定理可求出OH，然后运用锐角三角函数的定义就可解决问题．

解答 （1）证明：∵PG平分∠EPF，
∴∠CPO=∠APO．
∵OC∥PE，
∴∠COP=∠APO，
∴∠CPO=∠COP，
∴PC=OC．
（2）解：过点O作OH⊥CD于H，如图所示：
根据垂径定理可得CH=DH=$\frac{1}{2}$CD=6，
∴PH=PC+CH=OC+CH=10+6=16．
在Rt△CHO中，OH=$\sqrt{O{C}^{2}-C{H}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴tan∠OPD=$\frac{OH}{PH}$=$\frac{8}{16}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了垂径定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数的定义、平行线的性质、角平分线的定义等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OH是解决问题（2）的关键．