Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是AD边上一点，联结PB、PC，且AB²=AP•PD，则图中有

 

对相似三角形．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：

分析：由AD∥BC，AB=DC可判断梯形ABCD为等腰梯形，则∠A=∠D，由AB²=AP•PD得AB•CD=AP•PD，于是根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断△ABP∽△DPC，由相似的性质得∠ABP=∠DPC，接着利用AD∥BC得到∠DPC=∠PCB，∠APB=∠PBC，则∠PCB=∠ABP，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到△ABP∽△PCB，所以△DPC∽△DPC．

解答：解：∵AD∥BC，AB=DC，
∴梯形ABCD为等腰梯形，
∴∠A=∠D，
∵AB²=AP•PD，
∴AB•CD=AP•PD，即

AB

DP

=

AP

DC

，
∴△ABP∽△DPC，
∴∠ABP=∠DPC，
∵AD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB，∠APB=∠PBC，
∴∠PCB=∠ABP，
∴△ABP∽△PCB，
∴△DPC∽△DPC．
故答案为3．

点评：本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．