Question

10．如图，AD∥BC，AB⊥BC，动点E从点A开始沿AD运动，动点F从点B开始沿BC运动，AM=10cm，BN=8cm
（1）若动点E的速度为2cm/s，动点F的速度为1cm/s时，当运动时间为2或6秒时，以E，F，N，M为顶点的四边形为平行四边形；
（2）若AB=4cm，当点E、F的运动速度比$\frac{{v}_{E}}{{v}_{F}}$=$\frac{5}{13}$时，在某一时刻，四边形EMFN为菱形．

Answer 1

分析 （1）当EM=FN时，以E，F，N，M为顶点的四边形为平行四边形，分类讨论：当点E，F在MN的左侧时，EM=10-2t，FN=8-t，则10-2t=8-t；当点F在MN的左侧时，点E在MN的右侧时，EM=2t-10，FN=8-t，则2t-10=8-t，然后分别解方程即可得到对应的t的值；
（2）作MN的垂直平分线交AD于M，交BC于N，交MN于O点，作MQ⊥BC于Q，如图，先证明△OME≌△ONF得到EM=FN，则可判断四边形MENF为平行四边形，加上MN⊥EF，则四边形MENF为菱形，接着在Rt△MNQ中利用勾股定理计算出MN=2$\sqrt{5}$，通过Rt△OEM∽Rt△QMN，利用相似比可计算出EM=5，则NF=5，于是得到AE=AM-EM=5，BQ=BN+NF=13，然后得到点E和点F的速度比．

解答 解：（1）∵AD∥BC，
∴EM∥FN，
当EM=FN时，以E，F，N，M为顶点的四边形为平行四边形，
当点E，F在MN的左侧时，
∵AM=10cm，BN=8cm
∴EM=10-2t，FN=8-t，
∴10-2t=8-t，
解得：t=2，
当点F在MN的左侧时，点E在MN的右侧时，
∵AM=10cm，BN=8cm
∴EM=2t-10，FN=8-t，
∴2t-10=8-t，
解得：t=6，
综上所述：当t=2s或6s时，以E，F，N，M为顶点的四边形为平行四边形；
（2）作MN的垂直平分线交AD于M，交BC于N，交MN于O点，作MQ⊥BC于Q，如图，
∵AD∥BC，
∴∠OEM=∠OFN，∠OME=∠ONF，
在△OME和△ONF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OEM=∠OFN}\\{∠OME=∠ONF}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴△OME≌△ONF，
∴EM=FN，
而EM∥FN，
∴四边形MENF为平行四边形，
∵MN⊥EF，
∴四边形MENF为菱形，
在Rt△MNQ中，∵MQ=AB=4，NQ=BQ-BN=AM-BN=10-8=2，
∴MN=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴OM=$\sqrt{5}$，
∵∠NMQ=∠OEM，
∴Rt△OEM∽Rt△QMN，
∴$\frac{EM}{MN}$=$\frac{OM}{NQ}$，即$\frac{EM}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
解得EM=5，
∴NF=5，
∴AE=AM-EM=5，BQ=BN+NF=13，
∴$\frac{{v}_{E}}{{v}_{F}}$=$\frac{5}{13}$．
故答案为：2或6；$\frac{5}{13}$．

点评 本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．也考查了相似三角形的判定与性质．