Question

15．如图，直线y=-$\frac{1}{2}$x+b（b＞0）与双曲线y=$\frac{1}{x}$（x＞0）交于E、F两点，与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C（0，-$\frac{3}{2}$b），连接CA，CB，CE，CF，若S_△CEF=2（S_△CAE+S_△CBF），求b的值．

Answer 1

分析 先根据坐标轴上点的坐标特征得B（0，b），A（2b，0），则利用勾股定理得AB=$\sqrt{5}$b，利用一次函数图象上点的坐标特征可设E（m，-$\frac{1}{2}$m+b），F（n，-$\frac{1}{2}$n+b），接着利用两点间的距离公式得EF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$|m-n|，则m、n为方程-$\frac{1}{2}$x+b=$\frac{1}{x}$的两个实数解，由根与系数的关系得m+n=2b，mn=2，于是利用完全平方公式可计算出|m-n|=2$\sqrt{{b}^{2}-2}$，则EF=$\sqrt{5}$•$\sqrt{{b}^{2}-2}$，根据三角形面积公式，由S_△CEF=2（S_△CAE+S_△CBF）得到EF=2（AE+BF），即EF=$\frac{2}{3}$AB，所以$\sqrt{5}$•$\sqrt{{b}^{2}-2}$=$\frac{2}{3}$•$\sqrt{5}$b，然后解方程可得到b的值．

解答 解：当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$x+b=b，则B（0，b）；当y=0时，-$\frac{1}{2}$x+b=0，解得x=2b，则A（2b，0），
∴AB=$\sqrt{{b}^{2}+（2b）^{2}}$=$\sqrt{5}$b，
设E（m，-$\frac{1}{2}$m+b），F（n，-$\frac{1}{2}$n+b），
∴EF=$\sqrt{（m-n）^{2}+（-\frac{1}{2}m+b+\frac{1}{2}n-b）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$|m-n|，
∵y=-$\frac{1}{2}$x+b（b＞0）与双曲线y=$\frac{1}{x}$（x＞0）交于E、F两点，
∴m、n为方程-$\frac{1}{2}$x+b=$\frac{1}{x}$的两个实数解，
方程整理为x²-2bx+2=0，
∴m+n=2b，mn=2，
∴|m-n|=$\sqrt{（m+n）^{2}-4mn}$=$\sqrt{4{b}^{2}-8}$=2$\sqrt{{b}^{2}-2}$，
∴EF=$\sqrt{5}$•$\sqrt{{b}^{2}-2}$，
∵S_△CEF=2（S_△CAE+S_△CBF），
∴EF=2（AE+BF），
∴EF=$\frac{2}{3}$AB，
∴$\sqrt{5}$•$\sqrt{{b}^{2}-2}$=$\frac{2}{3}$•$\sqrt{5}$b，
∴b=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$或b=-$\frac{3\sqrt{10}}{5}$（舍去），
∴b的值为$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征；会求反比例函数与一次函数的交点坐标；会综合运用根与系数的关系；记住三角形面积公式．