Question

【题目】如图 ，在平面直角坐标系中，直线AB∥ x轴，线段AB与 y 轴交于点M ，已知点 A的坐标是（－2，3）， BM4，点C 与点 B 关于 x 轴对称．

（1）在图中描出点C ，并直接写出点 B 和点C 的坐标：B ，C ；

（2）联结 AC 、BC ，AC 与 x 轴交于点 D ，试判断△ABC 的形状，并直接写出点 D的坐标；

（3）在坐标平面内， x 轴的下方，是否存在这样的点 P ，使得△ACP 是等腰直角三角形？如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点C见解析，B（4，3），C（4，－3）； （2）△ABC 是等腰直角三角形，点 D（1，0）； （3）存在点 P，使得△ ACP 是等腰直角三角形，点 P1 （－2，－3）或 P2 （－8，－3）或 P3 （－2，－9）．

【解析】

(1)根据点C与点B关于x轴对称描出点C即可得坐标；

(2)根据点坐标求出线段AB、BC的长度，依据∠ABC=90即可确定△ABC是等腰直角三角形，然后求出DE=CE=3可得点D的坐标；

(3)分三种情况作出图形，进而确定点P的坐标即可.

解：（1）如图，可知点B（4，3），C（4，－3）；

（2）如图，

∵B(4，3),

∴AB=6，

∵C(4，-3)，BC⊥x轴，

∴BC=6，

∴AB=BC，∠ABC=90，

∴△ABC是等腰直角三角形，

设BC交x轴于点E，则∠DEC=90，OE=4，

∵∠DCE=45，

∴DE=CE=3，

∴OD=OE-DE=4-3=1，

∴D(1，0)；

（3））存在点 P，使得△ACP 是等腰直角三角形，如图，

①当∠APC是直角时，P1（-2，-3）；

②当∠PAC是直角时，P2(-8，-3)；

③当∠PCA是直角时，P3（-2，-9），

故点 P1 （－2，－3）或 P2 （－8，－3）或 P3 （－2，－9）．