Question

16．如图是一种新型娱乐设施的示意图，x轴所在位置记为地面，平台AB∥x轴，OA=6米，AB=2米，BC是反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象的一部分，CD是二次函数y=-x²+mx+n图象的一部分，连接点C为抛物线的顶点，且C点到地面的距离为2米，D点是娱乐设施与地面的一个接触点．
（1）试求k，m，n的值；
（2）试求点B与点D的水平距离．

Answer 1

分析 （1）把B（2，6）代入y=$\frac{k}{x}$，可得y=$\frac{12}{x}$，把y=2代入y=$\frac{12}{x}$，于是求得C点坐标为（6，2）．由于二次函数y=-x²+mx+n的顶点为C，于是得到y=-（x-6）²+2，即可得到结论；
（2）把y=0代入y=-（x-6）²+2，求得x₁=6+$\sqrt{2}$，x₂=6-$\sqrt{2}$．即可得到结论．

解答 解：（1）把B（2，6）代入y=$\frac{k}{x}$，可得y=$\frac{12}{x}$，
把y=2代入y=$\frac{12}{x}$，可得x=6，即C点坐标为（6，2）．
∵二次函数y=-x²+mx+n的顶点为C，
∴y=-（x-6）²+2，
∴y=-x²+12x-34．
∴k=12，m=12，n=-34；

（2）把y=0代入y=-（x-6）²+2，解得：x₁=6+$\sqrt{2}$，x₂=6-$\sqrt{2}$．
故点B与点D的距离为6+$\sqrt{2}$-2=4+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了点的坐标的求法，反比例函数的应用，二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．