Question

8．（1）已知二次函数y=（x-1）（x-3）的图象如图，请根据图象直接写出该二次函数图象经过怎样的左右平移，新图象通过坐标原点？
（2）在关于二次函数图象的研究中，秦篆晔同学发现抛物线y=ax²-bx+c（a≠0）和抛物线y=ax²-bx+c（a≠0）关于y轴对称，基于协作共享，秦同学将其发现口诀化“a、c不变，b相反”供大家分享，而在旁边补笔记的胡庄韵同学听成了“a、c相反，b不变”，并按此法误写，然而按此误写的抛物线恰巧与原抛物线也对称，请你写出小胡同学所写的与原抛物y=（x-1）（x-3）的对称图形的解析式，并研究其与原抛物线的具体对称情况；
（3）抛物线y=（x-1）（x-3）与x轴从左到右交于A、B两点，与y轴交于点C，M是其对称轴上一点，点N在x轴上，当点N满足怎样的条件，以点N、B、C为顶点的三角形与△MAB有可能相似，请写出所有满足条件的点N的坐标；
（4）E、F为抛物线y=（x-1）（x-3）上两点，且E、F关于D（$\frac{3}{2}$，0）对称，请直接写出E、F两点的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先求得抛物线与x轴的交点，即可求得平移的方向和距离；
（2）根据“a、c相反，b不变”，即可求得对应的函数解析式，然后确定顶点即可判断；
（3）△MAB中M是在抛物线的对称轴上，则△MAB为等腰三角形，则△NBC是等腰三角形，同时根据∠OBC=45°，即已知等腰△NBC的一个角的度数，据此即可讨论，求解；
（4）设E的坐标是（a，a²-4a+3），由点E与F关于点D（$\frac{3}{2}$，0）对称，则可得F的坐标，然后根据点E和点F的纵坐标互为相反数即可列方程求解．

解答 解：（1）二次函数y=（x-1）（x-3）与x轴的交点是（1，0）和（3，0）．
抛物线向左平移1个单位长度或3个单位长度即可使新图象经过坐标原点；
（2）y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3．
∵小胡同学听成了a与c相反，b不变．
∴y=-x²-4x-3=-（x+2）²+1，顶点坐标是（-2，1），
故与原抛物线关于原点对称；
（3）∵△MAB中M是在抛物线的对称轴上，
∴MA=MB，即△MAB为等腰三角形，
又∵△MAB与△NBC相似，
∴△NBC是等腰三角形．
∵N在x轴上，
∴∠CBN=45°或135°．
当∠CBN=135°时，即N点在B的右侧且BC=BN，则N的坐标是（3+3$\sqrt{2}$，0）；
当∠CBN=45°时，即N在点B的左侧，
若△MAB的底角为45°，此时三角形为等腰直角三角形，则N的坐标是（0，0）或（-3，0）；
若△MAB的顶角是45°时，在△NBC中，BC=BN=3$\sqrt{2}$，则N的坐标是（3-3$\sqrt{2}$，0）；
（4）设E的坐标是（a，a²-4a+3），
由点E与F关于点D（$\frac{3}{2}$，0）对称，则可得F（3-a，a²-2a），
∴点E和点F的纵坐标互为相反数，即a²-4a+3+a²-2a=0，
解得：a₁=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，a₂=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$（舍去），
∴E的纵坐标是（$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），F的坐标是（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数与等腰三角形的性质，相似三角形的性质，正确理解△NBC是等腰三角形是本题的关键．