Question

6．如图，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．
（1）求证：AD•BC=AP•BP；
（2）设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得出∠A=∠B，由三角形的外角性质和已知条件得出∠ADP=∠BPC，得出△APD∽△BCP，得出对应边成比例，即可得出结果；
（2）由（1）得AD：BP=AP：BC，得出BC=$\frac{t（6-t）}{5}$，因此DC=BD-BC=5-$\frac{t（6-t）}{5}$，作DM⊥AB于M，由等腰三角形的性质得出AM=BM=$\frac{1}{2}$AB=3，由勾股定理得出DM=4，当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，DC=4，即5-$\frac{t（6-t）}{5}$=4，求出t的值即可．

解答 （1）证明：∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
∵∠BPD=∠A+∠ADP=∠DPC+∠BPC，∠DPC=∠A，
∴∠ADP=∠BPC，
∴△APD∽△BCP，
∴AD：BP=AP：BC，
∴AD•BC=AP•BP；
（2）解：由（1）得：AD：BP=AP：BC，
即$\frac{5}{6-t}=\frac{t}{BC}$，
∴BC=$\frac{t（6-t）}{5}$，
∴DC=BD-BC=5-$\frac{t（6-t）}{5}$，
作DM⊥AB于M，如图所示：
则AM=BM=$\frac{1}{2}$AB=3，
DM=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，DC=4，
∴5-$\frac{t（6-t）}{5}$=4，
解得：t=1或t=5，
即当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，t的值为1或5．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线由切线的性质得出方程才能得出结果．