Question

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点，（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q.

（1）点D在线段PQ上，且DQ=DC.求证：CD是⊙O的切线；
（2）若sinQ=，BP=6，AP=，求QC的长.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）.

试题分析：（1）连结OC，由OC=OB得∠2=∠B，DQ=DC得∠1=∠Q，根据QP⊥PB得到∠Q+∠B=90°，则∠1+∠2=90°，再利用平角的定义得到∠DCO=90°，然后根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线；
（2）连结AC，由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，根据余弦的定义得cosB=，可计算出BC=，在Rt△BPQ中，利用余弦的定义得cosB=，可计算出BQ=10，然后利用QC=BQ-BC进行计算即可．
试题解析：证明：连接，
∵，
∴.
∵，

∴.
∵，
∴.
∴.
∴. 
∴，
∴
∵是⊙的半径，
∴是⊙的切线.
（2）连接，
在中，，
∴，
∵是⊙的直径，
∴.
在中，
∴.
∴.
考点: 1.切线的判定；2.解直角三角形．