Question

【题目】如图，二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．若以BD为直径的⊙M经过点C．

（1）请直接写出C，D的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）⊙M上是否存在点E，使得∠EDB=∠CBD？若存在，请求出所满足的条件的E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当x=0时，ax2﹣2ax﹣3a﹣3a，则点C的坐标为（0，﹣3a）；

∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，

∴点D的坐标为（1，﹣4a）

（2）

解：当y=0时，ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），

∵BD为⊙M的直径，

∴∠BCD=90°，

而BC2=（0﹣3）2+（﹣3a﹣0）2=9a2+9，CD2=（0﹣1）2+（﹣3a+4a）2=a2+1，BD2=（3﹣1）2+（0+4a）2=16a2+4，

在Rt△BCD中，∵BC2+CD2=BD2，

∴9a2+9+a2+1=16a2+4，

整理得a2=1，解得a1=﹣1，a2=1（舍去）；

∴抛物线解析式为：y=﹣x2+2x+3

（3）

解：存在．

a=1，CD2=a2+1=2，BC2=9a2+9=18，

∵∠EDB=∠CBD，

∴CD=BE，

而BD为直径，

∴∠BED=90°，

∴Rt△BED≌Rt△DCB，

∴DE=BC，

设E（x，y），

∴ED2=（x﹣1）2+（y﹣4）2，BE2=（x﹣3）2+y2，

∴（x﹣1）2+（y﹣4）2=18，（x﹣3）2+y2=2，

解得x=4，y=1或x= ，y=﹣ ，

∴满足条件的E点坐标为（4，1）、（ ，﹣ ）．

【解析】（1）计算横坐标为0的函数值即可得到C点坐标，然后将解析式配成顶点式即可得出点D的坐标；（2）先利用二次函数与x轴的交点问题确定A点和B点坐标，再根据圆周角定理得到∠BCD=90°，则根据两点间的距离公式得BC2=9a2+9，CD2=a2+1，BD2=16a2+4，接着利用勾股定理得到9a2+9+a2+1=16a2+4，然后解方程求出a即可得到二次函数解析式；（3）先计算出CD2=2，BC2=18，再根据圆周角定理，由∠EDB=∠CBD得弧CD=弧BE，则CD=BE，接着证明Rt△BED≌Rt△DCB，得到DE=BC，设E（x，y），根据两点间的距离公式得（x﹣1）2+（y﹣4）2=18，（x﹣3）2+y2=2，然后解方程组得x=4，y=1或x= ，y=﹣ ，从而可得满足条件的E点坐标．