Question

【题目】（1）已知：如图1，为等边三角形，点为边上的一动点（点不与、重合），以为边作等边，连接.求证：①，②；

（2）如图2，在中，，，点为上的一动点（点不与、重合），以为边作等腰，（顶点、、按逆时针方向排列），连接，类比题（1），请你猜想：①的度数；②线段、、之间的关系，并说明理由；

（3）如图3，在（2）的条件下，若点在的延长线上运动，以为边作等腰，（顶点、、按逆时针方向排列），连接.

①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；

②连结，若，，直接写出的长.

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②∠DCE＝120°；（2）∠DCE＝90°, BD2+CD2＝DE2．证明见解析；（3）①（2）中的结论还成立，②AE＝.

【解析】

（1）①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，即可得出结论；②由△ABD≌△ACE，以及等边三角形的性质，就可以得出∠DCE＝120°；
（2）先判定△ABD≌△ACE（SAS），得出∠B=∠ACE=45°，BD=CE，在Rt△DCE中，根据勾股定理得出CE2+CD2=DE2，即可得到BD2+CD2=DE2；
（3）①运用（2）中的方法得出BD2+CD2=DE2；②根据Rt△BCE中，BE=10，BC=6，求得进而得出CD=8-6=2，在Rt△DCE中，求得最后根据△ADE是等腰直角三角形，即可得出AE的长．

（1）①如图1，∵△ABC和△ADE是等边三角形，

∴AB＝AC，AD＝AE，∠ ACB＝∠B＝ 60°，

∠BAC＝∠DAE＝60°，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，

∴∠BAD＝∠EAC．

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE；

②∵△ABD≌△ACE ,

∠ACE＝∠B＝60°,

∴∠DCE＝∠ACE +∠ACB＝60°+60°＝120°；

（2）∠DCE＝90°, BD2+CD2＝DE2．

证明：如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，

即∠BAD＝∠CAE，

在△ABD与△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，

∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，

∴∠BCE＝90°，

∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，

∴BD2+CD2＝DE2；

（3）①（2）中的结论还成立．
理由：如图3，∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABC=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠ABC+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠BCE=90°=∠ECD，
∴Rt△DCE中，CE2+CD2=DE2，
∴BD2+CD2=DE2

②∵Rt△BCE中，BE=10，BC=6，

∴BD=CE=8，
∴CD=8-6=2，
∴Rt△DCE中，

∵△ADE是等腰直角三角形，