Question

7．已知凸四边形ABCD中，∠A=∠C=90°．
（1）如图1，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明；
（2）如图2，若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明．

Answer 1

分析 （1）DE⊥BF，延长DE交BF于G．易证∠ADC=∠CBM．可得∠CDE=∠EBF．即可得∠EGB=∠C=90゜，则可证得DE⊥BF；
（2）DE∥BF，连接BD，易证∠NDC+∠MBC=180゜，则可得∠EDC+∠CBF=90゜，继而可证得∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，则可得DE∥BF．

解答 解：（1）DE⊥BF，
延长DE交BF于点G
∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°
又∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°
∵∠ABC+∠MBC=180°
∴∠ADC=∠MBC，
∵DE、BF分别平分∠ADC、∠MBC
∴∠EDC=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠EBG=$\frac{1}{2}$∠MBC，
∴∠EDC=∠EBG，
∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°
∠EBG+∠BEG+∠EGB=180°
又∵∠DEC=∠BEG∴∠EGB=∠C=90
∴DE⊥BF；
（2）DE∥BF，
连接BD，
∵DE、BF分别平分∠NDC、∠MBC
∴∠EDC=$\frac{1}{2}$∠NDC，∠FBC=$\frac{1}{2}$∠MBC，
∵∠ADC+∠NDC=180°
又∵∠ADC=∠MBC
∴∠MBC+∠NDC=180°
∴∠EDC+∠FBC=90°，
∵∠C=90°∴∠CDB+∠CBD=90°
∴∠EDC+∠CDB+∠FBC+∠CBD=180°
即∠EDB+∠FBD=180°，
∴DE∥BF．

点评 此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．