Question

如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交BC于D，过C作⊙O的切线，交AB的延长线于P，∠PCB=

1

2

∠BAC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若sin∠BAC=

5

3

，求tan∠PCB的值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接AD，根据圆周角定理求得∠ADC=90°，根据弦切角定理求得∠PCB=∠CAD，进而求得∠CAD=∠BAD，然后根据ASA证得△ADC≌△ADB，即可证得结论．
（2）作BE⊥AC于E，得出BE∥PC，求得∠PCB=∠CBE，根据已知条件得出

BE

AB

=

3

5

，从而求得

AE

AB

=

4

5

，根据AB=AC，得出tan∠CBE=

CE

BE

=

5-4

3

=

1

3

，就可求得tan∠PCB=

1

3

．

解答：解：（1）连接AD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCB=∠CAD，
∵∠PCB=

1

2

∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
在△ADC和△ADB中，

∠CAD=∠BAD AD=AD ∠ADC=∠ADB=90°

，
∴△ADC≌△ADB（ASA），
∴AB=AC．
（2）作BE⊥AC于E，
∵PC是⊙O的切线，
∴AC⊥PC，
∴BE∥PC，
∴∠PCB=∠CBE，
∵sin∠BAC=

BE

AB

=

3

5

，
∴

AE

AB

=

4

5

，
∵AB=AC，
∴tan∠CBE=

CE

BE

=

5-4

3

=

1

3

，
∴tan∠PCB=

1

3

．

点评：本题考查了圆周角定理，切线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角函数等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．