Question

如图．菱形ABCD中．点E为AC上一点，且DE⊥BE．
（1）求证：△ADE≌△ABE；
（2）若∠DAB=60°，AD=2

3

，求DE的长．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由四边形ABCD是菱形，可得AD=AB，∠CAD=∠CAB，即可利用SAS判定：△ADE≌△ABE；
（2）易证得△ABD是等边三角形，然后由DE⊥BE，△ADE≌△ABE，证得△BDE是等腰直角三角形，继而求得答案．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠CAD=∠CAB，
在△ADE和△ABE中，

AD=AB ∠DAE=∠BAE AE=AE

，
∴△ADE≌△ABE（SAS）；

（2）解：连接BD，
∵AD=AB，∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AD=2

3

，
∵△ADE≌△ABE，
∴DE=BE，
∵DE⊥BE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=BD•cos45°=

2

2

×2

3

=

6

．

点评：此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．