Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ADN＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N.连接MD、AN，

(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；

(2)填空：

①当AM的值为_____时，四边形AMON是矩形；

②当AM的值为______时，四边形AMDN是菱形.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)①2；②4.

【解析】

（1）利用菱形的性质和已知条件可证明四边形AMDN的对边平行且相等即可；

（2）①有（1）可知四边形AMDN是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即∠DMA＝90°，所以AM＝AD＝2时即可；

②当平行四边形AMND的邻边AM＝DM时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形AMD是等边三角形即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴ND∥AM，AD＝AB＝4，

∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME，

又∵点E是AD边的中点

∴DE＝AE，

∴△NDE≌△MAE，

∴ND＝MA，

∴四边形AMDN是平行四边形；

（2）解：①当AM的值为2时，四边形AMDN是矩形．理由如下：

∵AM＝2＝AD＝AE，∠DAM＝60°，

∴△AEM是等边三角形，

∴AE＝EM＝DE，∠AEM＝60°，

∴∠ADM＝30°

∵∠DAM＝60°，

∴∠AMD＝90°，

∴平行四边形AMDN是矩形；

故答案为：2；

②当AM的值为4时，四边形AMDN是菱形．理由如下：

∵AM＝4，

∴AM＝AD＝4，

∴△AMD是等边三角形，

∴AM＝DM，

∴平行四边形AMDN是菱形，

故答案为：4．