Question

【题目】如图，已知A（-1,0），一次函数的图像交坐标轴于点B、C，二次函数的图像经过点A、C、B.点Q是二次函数图像上一动点。

（1）当时，求点Q的坐标；

（2）过点Q作直线//BC，当直线与二次函数的图像有且只有一个公共点时，求出此时直线对应的一次函数的表达式并求出此时直线与直线BC之间的距离。

Answer 1

【答案】（1）Q（0,2）或（3，2）或Q（，-2）或Q（，-2）；（2）一次函数，此时直线与直线BC之间的距离为

【解析】

（1）根据可求得Q点的纵坐标，将Q点的纵坐标代入求得的二次函数解析式中求出Q点的横坐标，即可求得Q点的坐标；

（2）根据两直线平行可得直线l的一次项系数，因为直线与抛物线只有一个交点，所以联立它们所形成的方程组有两个相同的解可求得直线l的常数项，即可得到它的解析式.利用等面积法可求得原点距离两直线的距离，距离差即为直线与直线BC之间的距离.

解：（1）对于一次函数，

当x=0时，y=2，所以C（0,2），当y=0时，x=4，所以B（4,0）.

∴.

∴ 则，

将A、B带入二次函数解析式得，解得，

∴二次函数解析式为：，

当y=2时，，解得，

所以,

当y=-2时，，解得，

所以，

故Q（0,2）或（3，2）或Q（，-2）或Q（，-2）.

（2）根据题意设一次函数，

∵直线与二次函数的图像有且只有一个公共点

∴只有一个解，

整理得，

∴，解得b=4，

∴一次函数

如下图，直线l与坐标轴分别相交于D,E,过O作直线BC的垂线与BC和DE相交于F和G，

对于一次函数，当x=0时，y=4，故D(0,4)，当y=0时，x=8，故E(8,0).

∴,

,即，解得,

,即，解得,

∴.

∴此时直线与直线BC之间的距离为.