【题目】如图,已知正方ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为,则这个正方形的边长为_____________
【答案】
【解析】
将△ABE绕点A旋转60°至△AGF的位置,根据旋转的性质可证△AEF和△ABG为等边三角形,即可证明EF=AE,GF=BE,所以根据两点之间线段最短EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC,表示Rt△GMC的三边,根据勾股定理即可求出正方形的边长.
解:如图,将△ABE绕点A旋转60°至△AGF的位置,连接EF,GC,BG,过点G作BC 的垂线交CB的延长线于点M.设正方形的边长为2m,
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC=2m,∠ABC=∠ABM=90°,
∵△ABE绕点A旋转60°至△AGF,
∴,
∴△AEF和△ABG为等边三角形,
∴AE=EF,∠ABG=60°,
∴EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC,
∴GC=,
∵∠GBM=90°-∠ABG =30°,
∴在Rt△BGM中,GM=m,BM=,
Rt△GMC中,勾股可得,
即:,
解得:,
∴边长为.
故答案为:.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)的对称轴为直线x=3,抛物线与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,已知点B的坐标为(8,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M为线段BC上方抛物线上的一点,点N为线段BC上的一点,若MN∥y轴,求MN的最大值;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形?若存在,请直接写出符合点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)如果∠BAC=60°,AD=4,求AC长.
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【题目】如图,要证明平行四边形ABCD为正方形,那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上,进一步证明( )
A.AB=AD且AC⊥BDB.AB=AD且AC=BDC.∠A=∠B且AC=BDD.AC和BD互相垂直平分
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【题目】如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,CD上的点,AE=ED,DF=DC,连结EF并延长交BC的延长线于点G,连结BE.
(1)求证:△ABE∽△DEF.
(2)若正方形的边长为4,求BG的长.
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【题目】如图,已知A(-1,0),一次函数的图像交坐标轴于点B、C,二次函数的图像经过点A、C、B.点Q是二次函数图像上一动点。
(1)当时,求点Q的坐标;
(2)过点Q作直线//BC,当直线与二次函数的图像有且只有一个公共点时,求出此时直线对应的一次函数的表达式并求出此时直线与直线BC之间的距离。
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,圆心O在AB上,过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D.
(1)求证:△ABC∽△BDC.
(2)若AC=8,BC=6,求△BDC的面积.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如表:
x | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | 5 | 1 | ﹣1 | ﹣1 | 1 |
(1)抛物线的对称轴是_____;
(2)不等式ax2+bx+c﹣1<0的解集是_____.
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【题目】已知二次函数的图象经过点,对称轴是经过且平行于轴的直线.
(1)求,的值.
(2)如图,一次函数的图象经过点,与轴相交于点,与二次函数的图象相交于另一点,点在点的右侧,,求一次函数的表达式,
(3)直接写出时的取值范围.
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