【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,圆心O在AB上,过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D.
(1)求证:△ABC∽△BDC.
(2)若AC=8,BC=6,求△BDC的面积.
【答案】(1)详见解析;(2)
【解析】
(1)由AB是⊙O的直径,可得∠ACB=∠BCD=90°,又由BD是⊙O的切线,根据同角的余角相等,可得∠A=∠CBD,利用有两角对应相等的三角形相似,即可证得△ABC∽△BDC;
(2)由AC=8,BC=6,可求得△ABC的面积,又由△ABC∽△BDC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得△BDC的面积.
(1)∵BD是⊙O的切线,
∴AB⊥BD,
∴∠ABD=90°.
∴∠A+∠D=90°.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=∠BCD=90°,
∴∠CBD+∠D=90°,
∴∠A=∠CBD,
∴△ABC∽△BDC;
(2)∵△ABC∽△BDC,
∴,
∵AC=8,BC=6,
∴S△ABCACBC8×6=24,
∴S△BDC=S△ABC24÷()2.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AD交AB于E,EF∥BC交AC于F.
(1)求证:△ACD∽△ADE;
(2)求证:AD2=ABAF;
(3)作DG⊥BC交AB于G,连接FG,若FG=5,BE=8,直接写出AD的长.
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+4k﹣3=0,
(1)求证:无论k取什么实数值,该方程总有两个不相等的实数根?
(2)当Rt△ABC的斜边a=,且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时,求k的值.
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【题目】如图1,矩形OABC的顶点A的坐标为(4,0),O为坐标原点,点B在第一象限,连接AC, tan∠ACO=2,D是BC的中点,
(1)求点D的坐标;
(2)如图2,M是线段OC上的点,OM=OC,点P是线段OM上的一个动点,经过P、D、B三点的抛物线交 轴的正半轴于点E,连接DE交AB于点F.
①将△DBF沿DE所在的直线翻折,若点B恰好落在AC上,求此时点P的坐标;
②以线段DF为边,在DF所在直线的右上方作等边△DFG,当动点P从点O运动到点M时,点G也随之运动,请直接写出点G运动的路径的长.
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【题目】已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AC于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线.
(2)若⊙O的半径为3cm,∠C=30°,求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,且对称轴在(﹣1,0)的左边,下列结论一定正确的是( )
A.abc>0B.2a﹣b<0C.b2﹣4ac<0D.a﹣b+c>﹣1
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【题目】如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,则在下列五个条件中:①∠AED=∠B;②DE∥BC;③=;④AD·BC=DE·AC;⑤∠ADE=∠C,能满足△ADE∽△ACB的条件有( )
A.1个B.2C.3个D.4个
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