【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AD交AB于E,EF∥BC交AC于F.
(1)求证:△ACD∽△ADE;
(2)求证:AD2=ABAF;
(3)作DG⊥BC交AB于G,连接FG,若FG=5,BE=8,直接写出AD的长.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】
(1)根据两角对应相等两三角形相似即可证明.
(2)证明△BAD∽△DAF可得结论.
(3)求出AB,AF,代入AD2=ABAF,即可解决问题.
(1)证明:∵DA平分∠BAC,
∴∠CAD=∠DAE,
∵DE⊥AD,
∴∠ADE=∠C=90°,
∴△ACD∽△ADE.
(2)证明:连接DF.
∵EF∥BC,
∴∠AFE=∠C=90°,∠AEF=∠B,
∵∠ADE=∠AFE=90°,
∴A,E,D,F四点共圆,
∴∠ADF=∠AEF,
∴∠B=∠ADF,
∴∠DAB=∠DAF,
∴△BAD∽△DAF,
∴,
∴AD2=ABAF.
(3)设DG交EF于O.
∵DG⊥BC,AC⊥BC,
∴DG∥AC,
∴∠ADG=∠DAC=∠DAG,
∴AG=GD,
∵∠AED+∠EAD=90°,∠EDG+∠ADG=90°,
∴∠GED=∠GDE,
∴DG=EG=AG,
∵∠AFE=90°,
∴FG=EG=AG=DG=5,
∵OE∥BD,
∴,
∴,
∴OG=,
∴OG∥AF.EG=AG,
∴OE=OF,
∴AF=2OG=,
∴AD2=ABAF=18×,
∵AD>0,
∴AD=.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),下列说法:
①若b2﹣4ac=0,则抛物线的顶点一定在x轴上;
②若b=a+c,则抛物线必经过点(﹣1,0);
③若a<0,且一元二次方程ax2+bx+c=0有两根x1,x2(x1<x2),则ax2+bx+c<0的解集为x1<x<x2;
④若,则方程ax2+bx+c=0有一根为﹣3.
其中正确的是_____(把正确说法的序号都填上).
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)的对称轴为直线x=3,抛物线与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,已知点B的坐标为(8,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M为线段BC上方抛物线上的一点,点N为线段BC上的一点,若MN∥y轴,求MN的最大值;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形?若存在,请直接写出符合点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)如图所示,下列结论:①b2﹣4ac>0;②a+b+c=2;③abc<0;④a﹣b+c<0,其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图,△ABC中,AB=8厘米,AC=16厘米,点P从A出发,以每秒2厘米的速度向B运动,点Q从C同时出发,以每秒3厘米的速度向A运动,其中一个动点到端点时,另一个动点也相应停止运动,设运动的时间为t.
⑴用含t的代数式表示:AP= ,AQ= .
⑵当以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似时,求运动时间是多少?
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【题目】如图,在直角坐标系中,点A,B分别在x轴,y轴上,点A的坐标为(﹣1,0),∠ABO=30°,线段PQ的端点P从点O出发,沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周,同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动,如果PQ=,那么当点P运动一周时,点Q运动的总路程为__________.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)如果∠BAC=60°,AD=4,求AC长.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,圆心O在AB上,过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D.
(1)求证:△ABC∽△BDC.
(2)若AC=8,BC=6,求△BDC的面积.
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