【题目】已知:如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AC于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线.
(2)若⊙O的半径为3cm,∠C=30°,求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)见解析;(2)(3π﹣)cm2
【解析】
(1)由等腰三角形的性质证出∠ODB=∠C.得出OD∥AC.由已知条件证出DE⊥OD,即可得出结论;
(2)由垂径定理求出OF,由勾股定理得出DF,求出BD,得出△BOD的面积,再求出扇形BOD的面积,即可得出结果.
(1)连接OD,如图1所示:
∵OD=OB,
∴∠B=∠ODB.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∴∠ODB=∠C.
∴OD∥AC.
∵DE⊥AC,
∴DE⊥OD,
∴DE是⊙O的切线.
(2)过O作OF⊥BD于F,如图2所示:
∵∠C=30°,AB=AC,OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB=∠C=30°,
∴∠BOD=120°,
在Rt△DFO中,∠FDO=30°,
∴OF=OD=cm,
∴DF==cm,
∴BD=2DF=3cm,
∴S△BOD=×BD×OF=×3×=cm2,
S扇形BOD==3πcm2,
∴S阴=S扇形BOD﹣S△BOD==(3π﹣)cm2.
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【题目】如图,在直角坐标系中,点A,B分别在x轴,y轴上,点A的坐标为(﹣1,0),∠ABO=30°,线段PQ的端点P从点O出发,沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周,同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动,如果PQ=,那么当点P运动一周时,点Q运动的总路程为__________.
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【题目】如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,CD上的点,AE=ED,DF=DC,连结EF并延长交BC的延长线于点G,连结BE.
(1)求证:△ABE∽△DEF.
(2)若正方形的边长为4,求BG的长.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,圆心O在AB上,过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D.
(1)求证:△ABC∽△BDC.
(2)若AC=8,BC=6,求△BDC的面积.
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【题目】如图①,△ABC,△CDE都是等边三角形.
(1)写出AE与BD的大小关系.
(2)若把△CDE绕点C逆时针旋转到图②的位置时,上述(1)的结论仍成立吗?请说明理由.
(3)△ABC的边长为5,△CDE的边长为2,把△CDE绕点C逆时针旋转一周后回到图①位置,求出线段AE长的最大值和最小值.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如表:
x | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | 5 | 1 | ﹣1 | ﹣1 | 1 |
(1)抛物线的对称轴是_____;
(2)不等式ax2+bx+c﹣1<0的解集是_____.
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【题目】图中所示的抛物线形拱桥,当拱顶离水面4m时,水面宽8m.水面上升3米,水面宽度减少多少?下面给出了解决这个问题的两种建系方法.
方法一如图1,以上升前的水面所在直线与抛物线左侧交点为原点,以上升前的水面所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy;
方法二如图2,以抛物线顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系xOy,
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【题目】如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(﹣1,0),则
①二次函数的最大值为a+b+c;
②a﹣b+c<0;
③b2﹣4ac<0;
④当y>0时,﹣1<x<3,其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,已知⊙O的直径AB=10,弦AC=6,∠BAC的平分线交⊙O于点D,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线.
(2)求DE的长.
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