Question

16．如图，在△ABC中，∠C=90°，BE是∠ABC的平分线，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BDE的外接圆．求证：
（1）AC是⊙O的切线；
（2）CG=DF．

Answer 1

分析 （1）连接OE，由于BE是角平分线，则有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有∠OBE=∠OEB，等量代换有∠OEB=∠CBE，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE∥BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切线；
（2）连结GE，先根据HL证明△CGE≌△FDE，再由全等三角形的对应边相等即可得出CG=DF．

解答 证明：（1）如图，连接OE．
∵DE⊥BE，
∴∠BED=90°，
∴BD是圆O的直径．
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO=∠C=90°，
∴AC是⊙O的切线；

（2）如图，连结EG．
∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EF⊥AB于F，
∴EC=EF．
∵∠CBE=∠DBE，
∴DE=EG，
在RT△CGE与△RT△FDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=EF}\\{EG=CE}\end{array}\right.$，
∴△CGE≌△FDE（HL），
∴CG=DF．

点评 本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．