Question

如图所示，已知△ABC的高AD、BE交于H，△ABC、△ABH的外接圆分别为⊙O₂和⊙O₁，求证：⊙O与⊙O₁的半径相等．

Answer 1

分析：首先作辅助线：过A作⊙O和⊙O₁的直径AP、AQ，连接PB、QB，即可证得：P、B、Q三点共线，又由H是△ABC的垂心，证得D、C、E、H四点共圆，则可证得∠P=∠Q，易得⊙O与⊙O₁的半径相等．

解答：证明：过A作⊙O和⊙O₁的直径AP、AQ，连接PB、QB，则∠ABP=∠ABQ=90°．
故P、B、Q三点共线．
因H是△ABC的垂心，
故D、C、E、H四点共圆，∠AHE=∠C．
而∠AHE=∠Q，∠C=∠P，
故∠P=∠Q，AP=AQ．
因此⊙O与⊙O₁的半径相等．

点评：此题考查了三角形的垂心的性质．解题时要注意三点共线与四点共圆等知识的应用．