【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,以CD为直径的⊙O分别交AC,BC于点E,F两点,过点F作FG⊥AB于点G.
(1)试判断FG与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=6,CD=5,求FG的长.
【答案】(1)与相切,证明见详解;(2)
【解析】
(1)如图,连接OF,DF,根据直角三角形的性质得到CD=BD,由CD为直径,得到DF⊥BC,得到F为BC中点,证明OF∥AB,进而证明GF⊥OF,于是得到结论;
(2)根据勾股定理求出BC,BF,根据三角函数sinB的定义即可得到结论.
解:(1)答:与相切.
证明:连接OF,DF,
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,
∴CD=BD=,
∵CD为 ⊙O直径,
∴DF⊥BC,
∴F为BC中点,
∵OC=OD,
∴OF∥AB,
∵FG⊥AB,
∴FG⊥OF,
∴为的切线;
(2)∵CD为Rt△ABC斜边上中线,
∴AB=2CD=10,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
∴BC=,
∴BF=,
∵FG⊥AB,
∴sinB=,
∴,
∴.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点F,过点C作CE∥AB,且∠CAD=∠CAE.
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)若AB=8,AC=6,求CE的长.
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【题目】如图,已知等边三角形,顶点在双曲线上,点的坐标为.过作交双曲线于点,过作交轴于点,得到第二个等边;过作交双曲线于点,过作交轴于点,得到第三个等边;以此类推,... 则点的坐标为____.
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【题目】某市教委为了让广大青少年学生走向操场、走进自然、走到阳光下,积极参加体育锻炼,启动了“学生阳光体育运动”,其中有一项是短跑运动,短跑运动可以锻炼人的灵活性,增强人的爆发力,因此张明和李亮在课外活动中报名参加了百米训练小组.在近几次百米训练中,教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析,请根据图表中的信息解答以下问题:
成绩统计分析表
(1)张明第2次的成绩为__________秒;
(2)请补充完整上面的成绩统计分析表;
(3)现在从张明和李亮中选择一名成绩优秀的去参加比赛,若你是他们的教练,应该选择谁? 请说明理由.
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【题目】如图,把一个等腰直角三角形放在平面直角坐标系中,∠ACB=90°,点C(-1,0),点B在反比例函数的图像上,且y轴平分∠BAC,则k的值是_________.
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【题目】已知,如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,其中A点坐标为(﹣1,0),点C(0,5),另抛物线经过点(1,8),M为它的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求△MCB的面积.
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【题目】已知关于的一元二次方程.
(1)求证:无论为任何实数,此方程总有两个实数根;
(2)若方程的两个实数根为、,满足,求的值;
(3)若△的斜边为5,另外两条边的长恰好是方程的两个根、,求的内切圆半径.
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【题目】在中,,点为底边上一动点,将射线绕点逆时针旋转后,与射线相交于点,且
如图①,当点在底边上,时,请直接写出线段之间的数量关系;
如图②,当点在底边上,,且时,求证:
当,且时,请直接写出的值.
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【题目】某中学计划为乡村希望小学购买一些文具送给学生,为此希望小学决定围绕在笔袋、圆规、直尺和钢笔四种文具中,你最需要的文具是什么(必选且只选一种)的问题,在全校内随机抽取部分学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图,请你根据图中所给的信息解答下列问题:
(1)在这次调查中,一共抽取了多少名学生?
(2)请通过计算补全条形统计图;
(3)若希望小学共有360名学生,请你估计全校学生中最需要钢笔的学生有多少名?
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