Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥AB，且∠CAD＝∠CAE．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）若AB＝8，AC＝6，求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）利用平行线的性质，圆的性质和等腰三角形的性质，证明△AEC和△ADC全等即可得到结论；，

（2）设AE＝AD＝x，CE＝CD＝y，利用勾股定理列出关于x和y的等式，即可求出AE的长．

（1）证明：∵AB＝BC，

∴∠BAC＝∠BCA，

∵CE∥AB，

∴∠BAC＝∠ACE，

∴∠ACB＝∠ACE，

∴∠CAD＝∠CAE，

∵AC＝AC，

∴△ADC≌△AEC（ASA），

∴∠ADC＝∠E，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∴∠E＝90°，

∵AB∥CE，

∴∠BAE+∠E＝180°，

∴∠BAE＝90°，

∴AE是⊙O的切线；

（2）解：设AE＝AD＝x，CE＝CD＝y，

则BD＝（8﹣y），

∵△AEC和△ADB为直角三角形，

∴AE2+CE2＝AC2，AD2+BD2＝AB2，

AB＝8，AC＝6，AE＝AD＝x，CE＝CD＝y，BD＝（8﹣y）代入，

∴x2+y2＝62，x2+（8﹣y）2＝82，

解得：y＝，

即CE的长为．