【题目】如图,已知二次函数 y=ax2+bx 的图象与 x 轴交于点 O(0,0)和 点 B,抛物线的对称轴是直线 x=3.点 A 是抛物线在第一象限上的一个动点, 过点 A 作 AC⊥x 轴,垂足为 C.S△AOB=3S△ABC,AC2=OCBC.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M.连接 AM,点 N 是线段 OA 上的一点.当 ∠AMN=∠AOM 时,求点 N 的坐标;
(3)点 P 是抛物线上的一个动点.点 Q 是 y 轴上的一动点.当以 A,B,P,Q 四个点为顶点的四边形为平行四边形时,直接写出点 P 坐标.
【答案】(1)y=; (2);(3)点 P 为(2,﹣2)或(﹣2,4)或(14,28)时以 A,B,P,Q 四个点为顶点 的四边形为平行四边形.
【解析】
(1)根据二次函数的对称性以及对称轴可以确定点B的坐标,然后结合题目中给到的面积关系求出,从而确定,根据求出便可以确定点的坐标,把点和点代入二次函数解析式联立方程组便可求解;
(2)利用可以证明,结合相似的性质可以得到,而可以用勾股定理求出,可以用两点间的距离公式求出,从而解出,由于在正比例函数上,所以可以求出直线的解析式,设出的坐标,利用两点间的距离公式表示出,最后解出点的坐标;
(3)根据已知边进行分类讨论,可能是平行四边形的对角线,也可能是四边形的边,然后再根据平行四边形的性质特点,即对角线交点即为对角线的中点,分别解出每种情况下点的坐标;
(1) 函数对称轴为,且与轴交于
,则
又
点的坐标为:
将点,代入,解得:,
二次函数的解析式为:
(2) 抛物线的对称轴与轴交于点,
又
又
设直线的解析式为,把代入得:
解得:
直线的解析式为
设,
解得:(不合题意,舍去)
当时,
(3)设
①当为平行四边形的边时,分为以下两种情况:
i:四边形为平行四边形,和为对角线,
此时的中点横坐标为3,的中点横坐标为
解得:
ii: 四边形为平行四边形,和为对角线
此时的中点横坐标为4,的中点横坐标为
解得:
②当为平行四边形的对角线时,也为对角线
此时的中点横坐标为7,的中点横坐标为
解得:
综上所述,当以 A,B,P,Q 四个点为顶点的四边形为平行四边形时,点 P的坐标可能是:(2,﹣2)或(﹣2,4)或(14,28);
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交,连接CO,过点D作⊙O的切线,与AB的延长线交于点E,若DE∥AC,∠BAC=40°,则∠OCD的度数为( )
A.65°B.30°C.25°D.20°
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【题目】某旅行团32人在景区A游玩,他们由成人、少年和儿童组成.已知儿童10人,成人比少年多12人.
(1)求该旅行团中成人与少年分别是多少人?
(2)因时间充裕,该团准备让成人和少年(至少各1名)带领10名儿童去另一景区B游玩.景区B的门票价格为100元/张,成人全票,少年8折,儿童6折,一名成人可以免费携带一名儿童.
①若由成人8人和少年5人带队,则所需门票的总费用是多少元?
②若剩余经费只有1200元可用于购票,在不超额的前提下,最多可以安排成人和少年共多少人带队?求所有满足条件的方案,并指出哪种方案购票费用最少.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点F,过点C作CE∥AB,且∠CAD=∠CAE.
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)若AB=8,AC=6,求CE的长.
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【题目】A,B两城相距600千米,甲、乙两车同时从A城出发驶向B城,甲车到达B城后立即返回.如图是它们离A城的距离y(千米)与行驶时间 x(小时)之间的函数图象.
(1)求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当它们行驶了7小时时,两车相遇,求乙车的速度及乙车行驶过程中y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)当两车相距100千米时,求甲车行驶的时间.
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【题目】为了解“停课不停学”过程中学生对网课内容的喜爱程度,某校开展了一次网上问卷调查.随机抽取部分学生,按四个类别统计,其中A表示“很喜欢”,B表示“喜欢”,C表示“一般”,D表示“不喜欢”,并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图.
请根据图中提供的信息,解决下列问题:
(1)这次共抽取 名学生进行统计调查,扇形统计图中D类所在扇形的圆心角度数为 ;
(2) 将条形统计图补充完整;
(3) 若该校共有3000名学生,估计该校表示“喜欢”的B类学生大约有多少人?
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【题目】已知,如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,其中A点坐标为(﹣1,0),点C(0,5),另抛物线经过点(1,8),M为它的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求△MCB的面积.
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