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【题目】如图,已知二次函数 yax2+bx 的图象与 x 轴交于点 O00)和 B,抛物线的对称轴是直线 x3.点 A 是抛物线在第一象限上的一个动点, 过点 A ACx 轴,垂足为 CSAOB3SABCAC2OCBC

1)求该二次函数的解析式;

2)抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M.连接 AM,点 N 是线段 OA 上的一点.当 AMN=∠AOM 时,求点 N 的坐标;

3)点 P 是抛物线上的一个动点.点 Q y 轴上的一动点.当以 ABPQ 四个点为顶点的四边形为平行四边形时,直接写出点 P 坐标.

【答案】1y 2;(3)点 P 为(2,﹣2)或(﹣24)或(1428)时以 ABPQ 四个点为顶点 的四边形为平行四边形.

【解析】

1)根据二次函数的对称性以及对称轴可以确定点B的坐标,然后结合题目中给到的面积关系求出,从而确定,根据求出便可以确定点的坐标,把点和点代入二次函数解析式联立方程组便可求解;

(2)利用可以证明,结合相似的性质可以得到,而可以用勾股定理求出,可以用两点间的距离公式求出,从而解出,由于在正比例函数上,所以可以求出直线的解析式,设出的坐标,利用两点间的距离公式表示出,最后解出点的坐标;

(3)根据已知边进行分类讨论,可能是平行四边形的对角线,也可能是四边形的边,然后再根据平行四边形的性质特点,即对角线交点即为对角线的中点,分别解出每种情况下点的坐标;

1 函数对称轴为,且与轴交于

,

点的坐标为:

将点代入,解得:

二次函数的解析式为:

2 抛物线的对称轴与轴交于点,

设直线的解析式为,把代入得:

解得:

直线的解析式为

解得:(不合题意,舍去)

时,

3)设

①当为平行四边形的边时,分为以下两种情况:

i:四边形为平行四边形,为对角线,

此时的中点横坐标为3,的中点横坐标为

解得:

ii: 四边形为平行四边形,为对角线

此时的中点横坐标为4的中点横坐标为

解得:

②当为平行四边形的对角线时,也为对角线

此时的中点横坐标为7的中点横坐标为

解得:

综上所述,当以 ABPQ 四个点为顶点的四边形为平行四边形时,点 P的坐标可能是:(2,﹣2)或(﹣24)或(1428);

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