Question

【题目】如图，在中，，点在的内部，连接，，，若，，则的长为__________．

Answer 1

【答案】9

【解析】

将△ADC绕点A顺时针旋转到△AEB，连接DE，根据旋转的性质证明△AED∽△ABC，利用相似三角形的性质结合∠ADB=90°推出∠EBD=90°，过点D作DF⊥AE，证明△EFD≌△EBD，得到BE=EF，根据，算出AF=3，在△AFD中，利用勾股定理算出AD，再在△ABD中利用勾股定理算出AC.

解：将△ADC绕点A顺时针旋转到△AEB，连接DE，

由题意可得：BD=6，∠ADC=∠AEB=2∠ABC，∠DAC=∠EAB，

∴∠EAD=∠BAC，

又∵AE=AD，AB=AC，

可知：△AED∽△ABC，

∴∠AED=∠ADE=∠BED=∠ABC=∠ADC=∠AEB，

∵∠ADB=∠ADE+∠BDE=90°，

∴∠BED+∠BDE=90°，

∴∠EBD=90°，

过点D作DF⊥AE，

∵∠BED=∠AED，

∴DB=DE=6，

在△EFD和△EBD中，

，

∴△EFD≌△EBD（AAS），

∴BE=EF，

∵，

设CD=x，

∴BE=EF=x，AD=AE=x+3，

∴AF=3，

在△AFD中，

AD=，

∴AC=AB=.

故答案为：9.