【题目】四边形是正方形,、分别是和的延长线上的点,且,连接、、.
(1)求证:;
(2)若,,求的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)50
【解析】
(1)根据SAS证明,只要证明AD=AB,∠D=∠ABF,DE=BF即可;
(2)由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE,则∠BAF+∠BAE=90°,即∠FAE=90°,根据旋转的定义可得到△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点,按顺时针方向旋转90度得到;
先利用勾股定理可计算出AE=10,再根据△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点,按顺时针方向旋转90度得到AE=AF,∠EAF=90°,然后根据直角三角形的面积公式计算即可.;
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠D=∠ABC=
而F是CB的延长线上的点,
∴∠ABF=,
在△ADE和△ABF中
∴△ADE≌△ABF(SAS)
(2)∵△ADE≌△ABF
∴∠BAF=∠DAE,
而∠DAE+∠EAB=,
∴∠BAF+∠EAB=,即∠FAE=,
∴△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点,按顺时针方向旋转得到;
∵BC=8,
∴AD=8,
在Rt△ADE中,DE=6,AD=8,
∴AE=
∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点,按顺时针方向旋转得到,
∴AE=AF,∠EAF=,
∴△AEF的面积=
故答案为:50
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【题目】已知,如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,其中A点坐标为(﹣1,0),点C(0,5),另抛物线经过点(1,8),M为它的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求△MCB的面积.
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【题目】在中,,点为底边上一动点,将射线绕点逆时针旋转后,与射线相交于点,且
如图①,当点在底边上,时,请直接写出线段之间的数量关系;
如图②,当点在底边上,,且时,求证:
当,且时,请直接写出的值.
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【题目】已知抛物线经过点和.下列结论:①;②;③当时,抛物线与轴必有一个交点在点的右侧;④抛物线的对称轴为.
其中结论正确的个数有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
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【题目】如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,CD平分∠ACB交☉O于点D,交AB于点F,弦AE⊥CD于点H,连接CE、OH.
(1)延长AB到圆外一点P,连接PC,若PC2=PB·PA,求证:PC是☉O的切线;
(2)求证:CF·AE=AC·BC;
(3)若=,☉O的半径是,求tan∠AEC和OH的长.
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【题目】某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成,如图,在⊙O1和扇形O2CD中,⊙O1与O2C、O2D分别切于点A、B,已知∠CO2D=60°,E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点,且EF=24cm,设⊙O1的半径为xcm,
(1)用含x的代数式表示扇形O2CD的半径;
(2)若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.06元/cm2,当⊙O1的半径为多少时,该玩具的制作成本最小?
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【题目】如图是小章为学校举办的数学文化节没计的标志,在△ABC中,∠ACB=90°,以△ABC的各边为边作三个正方形,点G落在HI上,若AC+BC=6,空自部分面积为10.5,则阴影部分面积为______.
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