Question

【题目】如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,CD平分∠ACB交☉O于点D,交AB于点F,弦AE⊥CD于点H,连接CE、OH.

(1)延长AB到圆外一点P,连接PC,若PC2=PB·PA,求证:PC是☉O的切线;

(2)求证:CF·AE=AC·BC;

(3)若=,☉O的半径是,求tan∠AEC和OH的长.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) tan∠AEC=，OH =1.

【解析】

（1）连接OC证明△PBC∽△PCA得∠BAC=∠PCB，可得∠PCO=90°，于是证得..
（2）△ACE、△CFB中，已知的相等角有∠CEA=∠CBA（同弧所对的圆周角），只需再找出一组对应角相等即可；易知∠ACB是直角，由于CD平分∠ACB，则∠ACH=∠FCB=45°；在Rt△CAH中，易证得∠HAC=45°，则∠CAH=∠FCB，由此得证；

（3）通过面积公式证明=.根据tan∠AEC=tan∠ABC=可求.AC=3k,BC=2k,在Rt△ACB中求出AC=6,BC=4.由△ACK是等腰直角三角形

可得BK=6-4=2,又OH是△ABK的中位线,可得OH=BK=1.

(1)证明:∵PC2=PB·PA,∴=,

∵∠BPC=∠APC,∴△PBC∽△PCA,

∴∠BAC=∠PCB,连接OC,如图所示,

∵AO=OC,∴∠ACO=∠BAC,∴∠ACO=∠PCB.

∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,

∴∠BCO+∠ACO=90°,

∴∠BCO+∠PCB=90°,∴∠PCO=90°.

∵OC是半径,∴PC是☉O的切线.

(2)证明:∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.

∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠FCB=45°.

∵AE⊥CD,∴∠CAE=45°=∠FCB.

在△ACE与△CFB中,

∠CAE=∠FCB,∠AEC=∠FBC,

∴△ACE∽△CFB,∴=,

∴CF·AE=AC·BC.

(3)作FM⊥AC于M,FN⊥BC于N,CQ⊥AB于Q,延长AE、CB交于点K.

∵CD平分∠ACB,∴FM=FN.

∵S△ACF=AC·FM=AF·CQ,

S△BCF=BC·FN=BF·CQ,

∴==,

∴=.

∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°且tan∠ABC=.

∵=且∠AEC=∠ABC,

∴tan∠AEC=tan∠ABC==.

设AC=3k,BC=2k,

∵在Rt△ACB中,AB2=AC2+BC2且AB=2,

∴(3k)2+(2k)2=(2)2,∴k=2(k=-2舍去),

∴AC=6,BC=4,

∵∠FCB=45°,∠CHK=90°,

∴∠K=45°=∠CAE,

∴HA=HC=HK,CK=CA=6.

∵CB=4,∴BK=6-4=2,

∵OA=OB,HA=HK,

∴OH是△ABK的中位线,∴OH=BK=1.