【题目】如图1,直线y=﹣x+2与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y=-x2+bx+c经过B、C两点,点P是抛物线上的一个动点,过点P作PQ⊥x轴,垂足为Q,交直线y=﹣x+2于点D.设点P的横坐标为m.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形,求点Q的坐标;
(3)如图2,当点P位于直线BC上方的抛物线上时,过点P作PE⊥BC于点E,求当PE取得最大值时点P的坐标,并求PE的最大值.
【答案】(1)y=﹣x2+x+2;(2)(2,0)或(2+2,0)或(2﹣2,0);(3)P(2,3),PE最大值为.
【解析】
(1)根据直线y=﹣x+2与x轴交于点B,与y轴交于点C可求出B、C两点坐标,代入y=-x2+bx+c可得关于b、c的二元一次方程组,解方程组求出b、c的值即可得答案;
(2)根据PQ⊥x轴,直线y=﹣x+2于点D,点P的横坐标为m可用m表示出D、Q两点坐标,根据平行四边形的性质可得OC=PD=2,根据两点间距离公式求出m的值即可得答案;
(3)利用勾股定理可求出BC的长,根据平行线的性质可得∠OCB=∠PDE,可证明△PED∽△BOC,根据相似三角形的性质可用m表示出PE的长,根据二次函数的性质即可得答案.
(1)∵直线y=﹣x+2与x轴交于点B,与y轴交于点C,
∴点B、C的坐标分别为(4,0)、(0,2).
∵抛物线y=-x2+bx+c经过B、C两点,
∴,
解得,
∴二次函数表达式为y=﹣x2+x+2.
(2)∵P点在抛物线上,横坐标为m,
∴P点坐标为(m,﹣m2+m+2),
∵PQ⊥x轴,垂足为Q,交直线y=﹣x+2于点D.
∴Q坐标为(m,0),D点坐标为(m,﹣m+2),
当P、D、O、C为顶点的四边形为平行四边形时,则有PD=OC=2,
∴|﹣m2+m+2﹣(﹣m+2)|=2,即|﹣m2+2m|=2,
当﹣m2+2m=2时,
解得:m=2,
∴Q坐标为(2,0),
当﹣m2+2m=﹣2时,
解得:m=2±2,
∴Q坐标为(2+2,0)或(2﹣2,0),
综上可知:Q点坐标为(2,0)或(2+2,0)或(2﹣2,0).
(3)由(2)可知P点坐标为(m,﹣m2+m+2),Q坐标为(m,0),D点坐标为(m,﹣m+2),
∴PD=﹣m2+2m.
在Rt△OBC中,OC=2,OB=4,
∴BC==2,
∵PQ∥OC,
∴∠OCB=∠PDE.
∵PE⊥BC,
∴∠PED=∠COB=90°.
∴△PED∽△BOC.
∴,
即,
解得PE=,
∵P在直线BC上方,
∴0<m<4,
∴当m=2时 PE有最大值,
当m=2时,﹣m2+m+2=3,
∴此时P点坐标为(2,3).
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【题目】金佛山是巴蜀四大名山之一游客上金佛山有两种方式:一种是从西坡上山,如图,先从A沿登山步道走到点B,再沿索道乘坐缆车到点C;另一种是从北坡景区沿着盘山公路开车上山到点C.已知在点A处观测点C,得仰角∠CAD=37°,且A、B的水平距离AE=1000米,索道BC的坡度i=1:,长度为2600米,CD⊥AD于点D,BF⊥CD于点F则BE的高度为(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°=0.75,=1.73)( )
A.2436.8米B.2249.6米C.1036.8米D.1136.8米
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【题目】已知抛物线经过点和.下列结论:①;②;③当时,抛物线与轴必有一个交点在点的右侧;④抛物线的对称轴为.
其中结论正确的个数有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
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【题目】如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,CD平分∠ACB交☉O于点D,交AB于点F,弦AE⊥CD于点H,连接CE、OH.
(1)延长AB到圆外一点P,连接PC,若PC2=PB·PA,求证:PC是☉O的切线;
(2)求证:CF·AE=AC·BC;
(3)若=,☉O的半径是,求tan∠AEC和OH的长.
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【题目】某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成,如图,在⊙O1和扇形O2CD中,⊙O1与O2C、O2D分别切于点A、B,已知∠CO2D=60°,E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点,且EF=24cm,设⊙O1的半径为xcm,
(1)用含x的代数式表示扇形O2CD的半径;
(2)若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.06元/cm2,当⊙O1的半径为多少时,该玩具的制作成本最小?
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【题目】如图,抛物线过点,且与直线交于B、C两点,点B的坐标为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D为抛物线上位于直线上方的一点,过点D作轴交直线于点E,点P为对称轴上一动点,当线段的长度最大时,求的最小值;
(3)设点M为抛物线的顶点,在y轴上是否存在点Q,使?若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】为了解某校八年级体育科目训练情况,从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育科目测试(把测试结果分为四个等级:A级:优秀;B级:良好;C级:及格;D级:不及格),并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图请根据统计图中的信息解答下列问题:
(1)图1中的度数是__________,并把图2条形统计图补充完整.
(2)抽取的这部分的学生的体育科目测试结果的中位数是在__________级;
(3)依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分,请计算抽取的这部分学生体育的平均成绩.
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