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【题目】如图1,直线y=﹣x+2x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y-x2+bx+c经过BC两点,点P是抛物线上的一个动点,过点PPQx轴,垂足为Q,交直线y=﹣x+2于点D.设点P的横坐标为m

1)求该抛物线的函数表达式;

2)若以PDOC为顶点的四边形是平行四边形,求点Q的坐标;

3)如图2,当点P位于直线BC上方的抛物线上时,过点PPEBC于点E,求当PE取得最大值时点P的坐标,并求PE的最大值.

【答案】1y=﹣x2+x+2;(2(20)(2+20)(220);(3)P(23),PE最大值为

【解析】

1)根据直线y=﹣x+2x轴交于点B,与y轴交于点C可求出BC两点坐标,代入y-x2+bx+c可得关于bc的二元一次方程组,解方程组求出bc的值即可得答案;

2)根据PQx轴,直线y=﹣x+2于点D,点P的横坐标为m可用m表示出DQ两点坐标,根据平行四边形的性质可得OC=PD=2,根据两点间距离公式求出m的值即可得答案;

3)利用勾股定理可求出BC的长,根据平行线的性质可得∠OCB=∠PDE,可证明△PED∽△BOC,根据相似三角形的性质可用m表示出PE的长,根据二次函数的性质即可得答案.

1)∵直线y=﹣x+2x轴交于点B,与y轴交于点C

∴点BC的坐标分别为(40)、(02).

∵抛物线y-x2+bx+c经过BC两点,

解得

∴二次函数表达式为y=﹣x2+x+2

2)∵P点在抛物线上,横坐标为m

P点坐标为(m,﹣m2+m+2),

PQx轴,垂足为Q,交直线y=﹣x+2于点D

Q坐标为(m0),D点坐标为(m,﹣m+2),

PDOC为顶点的四边形为平行四边形时,则有PDOC2

|m2+m+2﹣(﹣m+2|2,即|m2+2m|2

当﹣m2+2m2时,

解得:m2

Q坐标为(20),

当﹣m2+2m=﹣2时,

解得:m2±2

Q坐标为(2+20)或(220),

综上可知:Q点坐标为(20)或(2+20)或(220).

3)由(2)可知P点坐标为(m,﹣m2+m+2),Q坐标为(m0),D点坐标为(m,﹣m+2),

PD=﹣m2+2m

RtOBC中,OC2OB4

BC=2

PQOC

∴∠OCB=∠PDE

PEBC

∴∠PED=∠COB90°

∴△PED∽△BOC

解得PE

P在直线BC上方,

0m4

∴当m2 PE有最大值

m2时,﹣m2+m+2=3

∴此时P点坐标为(23).

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