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【题目】如图,为等边三角形,为其内心,射线于点 为射线上一动点,将射线绕点逆时针旋转,与射线交于点,当时,的长度为__________

【答案】

【解析】

根据等边三角形的性质和内心的定义可得∠BAC=ABC=ACB=60°,AD平分∠BACAB=BC=AC,然后利用锐角三角函数求出BDCDODOC,然后根据点P和点O的相对位置分类讨论,分别画出对应的图形,利用全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和相似三角形的判定及性质即可求出结论.

解:∵为等边三角形,为其内心,

∴∠BAC=ABC=ACB=60°,AD平分∠BACAB=BC=AC

ADBCBD=CD,∠BAD=CAD=BAC=30°

BD=CD==AB =AC=BC=2BD=

连接OC

易知OC=OA,∠OCD=30°

RtOCD中,OD=CD·tanOCD=2OC=2OD=4

①当点P在点O上方时,如下图所示,设射线绕点逆时针旋转后,点P的对应点为E,连接BE,过点EEFBCF

∴∠PCE=60°,EC=PCAP=ADODPO=3

∴∠PCE=ACB=60°

∴∠ECB=PCA

BC=AC

∴△ECB≌△PCA

BE=AP=3,∠EBC=PAC=30°

EF=BE·sinEBC=,BF= BE·cosEBC=

CF=BCBF=

EFBCAQBC

EFAQ

∴△CDQ∽△CFE

解得:DQ=

②当点P在点O下方时,如下图所示,设射线绕点逆时针旋转后,点P的对应点为E,连接BE,过点EEFBCF

∴∠PCE=60°,EC=PCAP=ADODPO=5

∴∠PCE=ACB=60°

∴∠ECB=PCA

BC=AC

∴△ECB≌△PCA

BE=AP=5,∠EBC=PAC=30°

EF=BE·sinEBC=,BF= BE·cosEBC=

CF=BCBF=

EFBCAQBC

EFAQ

∴△CDQ∽△CFE

解得:DQ=

综上:DQ=

故答案为:

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A.B.

C.D.

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请你先完成下面的证明,然后完成第(4)步作图:

∵以为圆心,任意长为半径画圆弧,分别交直线于点

∴以直线的交点和点为顶点所构成的三角形为等腰三角形(

根据上面的推理证明完成第(4)步作图

4)请在图2画板内作出直线所成的跑到画板外面去的角的平分线(画板内的部分),尺规作出图形,并保留作图痕迹.

第(4)步这么作图的理论依据是:

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