Question

【题目】在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=α，∠BCD=β，点E，F是四边形ABCD内的两个点，满足∠EAF=，∠ECF=，连接BE，EF，FD．

（1）如图1，当α=β时，判断∠ABE和∠ADF之间的数量关系，并证明你的猜想；

（2）当α≠β时，用等式表示线段BE，EF，FD之间的数量关系(直接写出即可)

Answer 1

【答案】（1）∠ABE+∠ADF=90°，见解析；（2）BE2+DF2= EF2．

【解析】

（1）结论：∠ABE+∠ADF=90°．将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADM，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△CDT，连接FM，TF．证明M，D，T共线，再证明FM=FT．DM=DT即可解决问题．

（2）结论：EF2=BE2+DF2．将△ABE绕点A逆时针旋转α度得到△ADM，将△BCE绕点C顺时针旋转β度得到△CDT，连接FM，TF．证明∠FDM=90°，利用勾股定理即可解决问题．

（1）结论：∠ABE+∠ADF=90°．

理由：∵AB=AD，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=∠BCD，

∴∠BAD=∠BCD=90°，

∴四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，

将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADM，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△CDT，连接FM，TF．

∵∠EAF=×90°=45°，

∴∠MAD+∠DAF=∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠FAM=∠FAE，

∵AM=AE，AF=AF，

∴△AFM≌△AFE（SAS），

∴EF=FM，

同法可证：EF=FT，

∴FM=FT，

∵∠ADM+∠CDT=∠ABE+∠CBE=90°，

∴∠MDT=90°+90°=180°，

∴M，D，T共线，

∵DM=BE，DT=BE，

∴DM=DT，

∴FD⊥MT，

∴∠FDM=90°，

∴∠ADM+∠ADF=90°，

∵∠ADM=∠ABE，

∴∠ABE+∠ADF=90°．

（2）结论：EF2=BE2+DF2．

理由：∵AD=AB，CD=CB，

∴将△ABE绕点A逆时针旋转α度得到△ADM，将△BCE绕点C顺时针旋转β度得到△CDT，连接FM，TF．

∵∠EAF=×∠DAB=α，

∴∠MAD+∠DAF=∠BAE+∠DAF=α，

∴∠FAM=∠FAE，

∵AM=AE，AF=AF，

∴△AFM≌△AFE（SAS），

∴EF=FM，

同法可证：EF=FT，

∴FM=FT，

∵∠ADM+∠CDT=∠ABE+∠CBE=90°，

∴∠MDT=90°+90°=180°，

∴M，D，T共线，

∵DM=BE，DT=BE，

∴DM=DT，

∴FD⊥MT，

∴∠FDM=90°，

∴FM2=DM2+DF2，

∵FM=EF，DM=BE，

∴EF2=BE2+DF2．