Question

【题目】在中，，点为底边上一动点，将射线绕点逆时针旋转后，与射线相交于点，且

如图①，当点在底边上，时，请直接写出线段之间的数量关系；

如图②，当点在底边上，，且时，求证：

当，且时，请直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或

【解析】

（1）在△ABC外取一点F，使AF=AD，CF=BD，连接EF，利用SSS证出△ABD≌△ACF，再证出△ADE≌△AEF，从而证出DE=EF，根据勾股定理和等量代换即可得出结论；

（2）在△ABC外取一点F，使AF=AD，CF=BD，连接EF，作FG⊥BC，交BC延长线于点G，利用SSS证出△ABD≌△ACF，再证出△ADE≌△AEF，从而证出DE=EF，再利用锐角三角函数和勾股定理即可证出结论；

（3）根据点E在线段BC上和BC的延长线上分类讨论，分别画出对应的图形，根据（1）（2）的方法及原理求出CE、EF和CF的关系，从而求出结论．

（1），理由如下

在△ABC外取一点F，使AF=AD，CF=BD，连接EF，

∵AB=AC，∠B=∠ACB=45°

∴△ABD≌△ACF，

∴∠BAD=∠CAF，AD=AF，∠ACF=∠B=45°，

∴∠ECF=∠ACB＋∠ACF=90°

∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAD+∠CAE=∠BAC，

∴∠EAF=∠CAF+∠CAE=∠BAC，

∴∠DAE=∠EAF，

∵AD=AF，AE=AE

∴△ADE≌△AEF，

∴DE=EF，

∵

∴

（2）证明：在△ABC外取一点F，使AF=AD，CF=BD，连接EF，作FG⊥BC，交BC延长线于点G，

∵AB=AC，∠B=∠ACB=60°

∴△ABD≌△ACF，

∴∠BAD=∠CAF，AD=AF，∠ACF=∠B=60°，

∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAD+∠CAE=∠BAC，

∴∠EAF=∠CAF+∠CAE=∠BAC，

∴∠DAE=∠EAF，

∵AD=AF，AE=AE

∴△ADE≌△AEF，

∴DE=EF，

又∵∠ECF=60°+60°=120°，

∴∠FCG=60°，

∴CG=FC60°=，，

∴在Rt△EFG中，，

∴．

（3）点E线段BC上时，如下图所示，在△ABC外取一点F，使AF=AD，CF=BD，连接EF，

∴CF=BD=2CE

∵AB=AC，∠BAC=120°

∴△ABD≌△ACF， ∠B=∠ACB=30°

∴∠BAD=∠CAF，AD=AF，∠ACF=∠B=30°，

∴∠ECF=∠ACB＋∠ACF=60°

∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAD+∠CAE=∠BAC，

∴∠EAF=∠CAF+∠CAE=∠BAC，

∴∠DAE=∠EAF，

∵AD=AF，AE=AE

∴△ADE≌△AEF，

∴DE=EF，

过点F作FE′⊥BC于点E′

∴CE′=CF·cos∠ECF=2CE·=CE

∴点E′和点E重合

∴DE=EF=CE·tan∠ECF=

∵BD＋DE＋CE=BC=6

∴2CE＋＋CE=6

解得：CE=；

若点E在BC延长线上时，如下图所示，在△ABC外取一点F，使AF=AD，CF=BD，连接EF，过点E作EG⊥FC交FC的延长线于G，设CE=x

∴CF=BD=2CE=2x

∵AB=AC，∠BAC=120°

∴△ABD≌△ACF， ∠B=∠ACB=30°

∴∠BAD=∠CAF，AD=AF，∠ACF=∠B=30°，

∴∠ECG=∠FCB=∠ACB＋∠ACF=60°

∵∠DAE=∠BAC，

∴∠BAC－∠BAD+∠CAE=∠DAE=∠BAC，

∴∠BAD－∠CAE=∠BAC，

∴∠EAF=∠CAF－∠CAE=∠BAC，

∴∠DAE=∠EAF，

∵AD=AF，AE=AE

∴△ADE≌△AEF，

∴DE=EF，

在Rt△ECG中，CG=CE·cos∠ECG =x，EG= CE·sin∠ECG =x

∴FG=CF＋CG=x

根据勾股定理：EF=

∴DE=EF=

∵BD＋DE－CE=BC=6

∴2x＋－x=6

解得：x=

即CE=

综上：或．