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    已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），设四边形APQC的面积为y（cm2）
    （1）求y与t的关系式；
    （2）如果△PBQ是直角三角形，求：四边形APQC的面积；
    （3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由．
    分析：（1）过P作PM⊥BC于M，过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形性质求出求出BD，根据勾股定理求出AD，求出△ABC的面积，根据sin60°=
    PM
    BP
    ，求出PM，求出△PBQ的面积，相减即可求出答案；
    （2）分为两种情况：①当∠PQB=90°时，根据cosB=
    BQ
    PB
    ，代入求出t；②当∠QPB=90°时，根据cosB=
    BP
    BQ
    ，代入求出t，分别把t的值代入（1）求出的函数解析式，即可求出答案；
    （3）假设存在，根据题意得出方程
    		3
    4
    t2-
    3
    		3
    4
    t+
    9
    		3
    4
    =
    2
    3
    ×
    1
    2
    ×3×
    3
    		3
    2
    ，求出方程的b2-4ac，看看是否大于等于0，即可根据判别式判断方程是否有解，根据方程解得情况判断即可．
    解答：（1）解：过P作PM⊥BC于M，过A作AD⊥BC于D，
    ∵三角形ABC是等边三角形，
    ∴∠B=60°，BD=CD=
    3
    2
    ，
    由勾股定理得：AD=
    3
    		3
    2
    ，
    ∵sin60°=
    PM
    BP
    ，
    ∴
    PM
    3-t
    =
    		3
    2
    ，
    ∴PM=
    		3
    2
    （3-t），
    ∴y=S△ABC-S△PBQ，
    =
    1
    2
    BC×AD-
    1
    2
    BQ×PM，
    =
    1
    2
    ×3×
    3
    		3
    2
    -
    1
    2
    ×t×
    		3
    2
    （3-t），
    =
    		3
    4
    t2-
    3
    		3
    4
    t+
    9
    		3
    4
    ，
    即y=
    		3
    4
    t2-
    3
    		3
    4
    t+
    9
    		3
    4
    ；

    （2）解：分为两种情况：①如图，当∠PQB=90°时，cosB=
    BQ
    PB
    ，
    t
    3-t
    =
    1
    2

    t=1，
    y=
    		3
    4
    ×1-
    3
    		3
    4
    ×1+
    9
    		3
    4
    =
    7
    		3
    4
    ；

    ②如图，当∠QPB=90°时，cosB=
    BP
    BQ
    ，

    3-t
    t
    =
    1
    2
    ，
    t=2，
    y=
    		3
    4
    ×4-
    3
    		3
    4
    ×2+
    9
    		3
    4
    =
    7
    		3
    4
    ；
    答：四边形APQC的面积是
    7
    		3
    4
    ；

    （3）解：不存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二，
    理由是：假设存在t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二，
    则
    		3
    4
    t2-
    3
    		3
    4
    t+
    9
    		3
    4
    =
    2
    3
    ×
    1
    2
    ×3×
    3
    		3
    2
    ，
    t2-3t+3=0，
    b2-4ac=（-3）2-4×1×3=-3＜0，
    此方程无解，
    即不存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二．
    点评：本题考查的知识点是三角形的面积、等边三角形的性质、直角三角形性质、勾股定理、函数的解析式等，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，注意：要进行分类讨论．
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