Question

【题目】若a，b互为相反数，b，c互为倒数，且m的立方等于它本身．

(Ⅰ)求ac的值；

(Ⅱ)若a＞1，且m＜0，，求6(2a﹣S)+(S﹣2a)的值；

(III)若m≠0，试讨论：当x为有理数时，|x+m|﹣|x﹣m|是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)ac＝-1；(Ⅱ)；(Ⅲ)2.

【解析】

（Ⅰ）由题意可知：a+b=0，bc=1，m=0或1或-1，代入ac即可；

（Ⅱ）由m=-1，b＜-1，将S进行化简即可；

（III）根据m=1和m=-1两种情况，分别由x的取值范围去掉绝对值符号，再由化简后的式子即可得到|x+m|-|x-m|有最大值为2．

解：由题意可知：a+b＝0，bc＝1，m＝0或1或﹣1，

(Ⅰ)∵a+b＝0，bc＝1，

∴ac＝(﹣b)c＝﹣bc＝﹣1；

(Ⅱ)∵m＜0，

∴m＝﹣1，

∵a＞1，

∴b＜﹣1，

∴＝2a﹣3b﹣2(m﹣b)+(b+)＝2a﹣3b﹣2m+2b+b+＝2a﹣2m+，

∵m＝﹣1，

∴S＝2a+，

∴6(2a﹣S)+(S﹣2a)＝12a﹣6S+S﹣2a＝10a﹣5S＝10a﹣10a﹣5×＝；

(III)∵m≠0，

∴m＝1或m＝﹣1，

当m＝1时，

|x+m|﹣|x﹣m|＝|x+1|﹣|x﹣1|，

当x＜﹣1时，|x+1|﹣|x﹣1|＝﹣(x+1)+(x﹣1)＝﹣2，

当﹣1≤x≤1时，|x+1|﹣|x﹣1|＝(x+1)﹣(1﹣x)＝2x，

当x＞1时，|x+1|﹣|x﹣1|＝(x+1)﹣(x﹣1)＝2，

∴|x+m|﹣|x﹣m|的最大值是2；

当m＝﹣1时，

|x+m|﹣|x﹣m|＝|x﹣1|﹣|x+1|＝﹣(|x+1|﹣|x﹣1|)，

∴|x+m|﹣|x﹣m|的最大值是2；

综上所述，|x+m|﹣|x﹣m|的最大值是2．