Question

【题目】如图1，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，将矩形沿对角线AC折叠，折叠后点B落在点E处，CE交AD于点F，连接DE．

（1）求证：；

（2）当AB与BC满足什么数量关系时，四边形AODE是菱形？请说明理由；

（3）将图1中的矩形ABCD改为平行四边形ABCD，其它条件不变，如图2，若AB=，∠ABC=30°，点E在直线AD上方，试探究：△AED是直角三角形时，BC的长度是多少．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当时，四边形ABCD是菱形，理由见解析；（3）BC=12或8．

【解析】

（1）根据折叠的性质和平行线的判定定理，即可解答；

（2）先利用折叠的性质，证明四边形AODE是平行四边形，再利用菱形的判定定理即可解答；

（3）根据折叠的性质，再分两种情况进行讨论即可解答．

（1）∵矩形ABCD沿AC折叠

∴∠1=∠2

∵AD∥BC

∴∠1=∠3

∴∠2=∠3

∴AF=CF

∵AD=BC，BC=CE，

∴AD=CE，

∴AD－AF=CE－CF

即EF=DF，

∴∠FED=∠FDE

∵∠AFC=∠EFD，

∴∠3=∠ADE，

∴AC∥DE

（2）当时，四边形ABCD是菱形．

理由如下：∵在Rt△ABC中，

∴∠1=30°

∴∠3=∠1=30°，∠BAO=60°

∵矩形ABCD沿AC折叠

∴∠BAO=∠CAE=60°

在矩形ABCD中，OA=DO

∴∠3=∠ADO=30°

∴∠EAD=∠CAE－∠3=30°

∴∠EAD=∠ADO

∴AE∥OD

由（1）可知AC∥DE，

∴四边形AODE是平行四边形

又∵OA=DO，

∴四边形AODE是菱形

（3）∵沿AC折叠，

∴∠ACB=∠ACE，BC=CE

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，

∴∠DAC=∠ACE，

∴FA=FC

∵AD=BC，BC=CE，

∴AD=CE，

∴AD－FA=CE－FC

即EF=DF

①时，如图1，依题可知

，

在中，

，

∴，

∴．

②如图2，当时，

∵∠AEC=∠ABC=30°，

∴∠FED=60°

∵EF=FD，

∴∠FDE=∠FED=60°

在Rt△AED中，，

∴

综上可知：当点E在直线AD上方时，BC=12或8．