【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,D是AC中点,直线OD与⊙O相交于E,F两点,P是⊙O外一点,P在直线OD上,连接PA,PC,AF,且满足∠PCA=∠ABC.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)证明:;
(3)若BC=8,tan∠AFP=,求DE的长.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)DE=.
【解析】
(1)先判断出PA=PC,得出∠PAC=∠PCA,再判断出∠ACB=90°,得出∠CAB+∠CBA=90°,再判断出∠PCA+∠CAB=90°,得出∠CAB+∠PAC=90°,即可得出结论;
(2)先判断出Rt△AOD∽Rt△POA,得出OA2=OPOD,进而得出
,,即可得出结论;
(3)在Rt△ADF中,设AD=a,得出DF=3a.,AO=OF=3a-4,最后用勾股定理得出OD2+AD2=AO2,即可得出结论.
(1)证明∵D是弦AC中点,∴OD⊥AC,∴PD是AC的中垂线,∴PA=PC,∴∠PAC=∠PCA.
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°.
又∵∠PCA=∠ABC,∴∠PCA+∠CAB=90°,∴∠CAB+∠PAC=90°,即AB⊥PA,∴PA是⊙O的切线;
(2)证明:由(1)知∠ODA=∠OAP=90°,
∴Rt△AOD∽Rt△POA,∴,∴.
又,∴,即.
(3)解:在Rt△ADF中,设AD=a,则DF=3a.,AO=OF=3a-4.
∵,即,解得,∴DE=OE-OD=3a-8=.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在菱形ABCD中,按以下步骤作图:
①分别以点C和点D为圆心,大于的同样的长为半径作弧,两弧交于M,N两点;
②作直线MN,交CD于点E,连接BE.
若直线MN恰好经过点A,则下列说法错误的是( )
A.ABC60°
B.
C.若AB4,则BE
D.tanCBE
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在读书月活动中,学校准备购买一批课外读物,为使课外读物满足同学们的需求,学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查(每位同学只选一类),如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.
请你根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)本次调查中,一共调查了_____名同学;
(2)条形统计图中,m=_____,n=_______;
(3)扇形统计图中,艺术类读物所在扇形的圆心角是______度;
(4)学校计划购买课外读物5000册,请根据样本数据,估计学校购买其他类读物多少册比较合理?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形.的顶点均在格点上,建立平面直角坐标系后,点的坐标为,点的坐标为.
(1)先将向右平移5个单位,再向下平移1个单位后得到.试在图中画出图形,并写出的坐标;
(2)将绕点顺时针旋转后得到,试在图中画出图形.并计算在该旋转过程中扫过部分的面积.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(14分)如图,已知抛物线()与x轴交于点A(1,0)和点B(﹣3,0),与y轴交于点C,且OC=OB.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE,CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求出此时点E的坐标;
(3)点P在抛物线的对称轴上,若线段PA绕点P逆时针旋转90°后,点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上,求点P的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,五边形ABCDE中,∠A=140°,∠B=120°,∠E=90°,CP和DP分别是∠BCD、∠EDC的外角平分线,且相交于点P,则∠CPD=__________°.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图 1,在平面直角坐标系中,已知抛物线 y=ax2+bx﹣5 与 x 轴交于 A(﹣1,0),B(5, 0)两点,与 y 轴交于点 C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点 D 是 y 轴上的一点,且以 B,C,D 为顶点的三角形与△ABC 相似,求点 D 的坐标;
(3)如图 2,CE∥x 轴与抛物线相交于点 E,点 H 是直线 CE 下方抛物线上的动点,过点 H且与 y 轴平行的直线与 BC,CE 分别相交于点 F,G,试探究当点 H 运动到何处时,四边形CHEF 的面积最大,求点 H 的坐标及最大面积;
(4)若点 K 为抛物线的顶点,点 M(4,m)是该抛物线上的一点,在 x 轴,y 轴上分别找点 P,Q,使四边形 PQKM 的周长最小,求出点 P,Q 的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】观察下列等式:,,,将以上三个等式两边分别相加得:.
(1)观察发现
_________;
__________.
(2)初步应用
利用(1)的结论,解决下列问题:
①把拆成两个分子为1的正的真分数之差,即__________;
②把拆成两个分子为1的正的真分数之和,即__________.
(3)深入探究
定义“◆”是一种新的运算,若,,,则计算的结果是_________.
(4)拓展延伸
第一次用一条直径将圆周分成两个半圆(如图),在每个分点标上质数,记2个数的和为,第二次将两个半圆都分成圆,在新产生的分点标相邻的已标的两个数的和的,记4个数的和为;第三次将四个圆分成圆,在新产生的分点标相邻的已标的两个数的和的,记8个数的和为;第四次将八个圆分成圆,在新产生的分点标相邻的已标的两个数的和的,记16个数的和为;……如此进行了次.
①_________(用含、的代数式表示);
②,求的值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com