【题目】观察下列等式：
，
，
，将以上三个等式两边分别相加得：
．
（1）观察发现
_________；
__________．
（2）初步应用
利用（1）的结论，解决下列问题：
①把
拆成两个分子为1的正的真分数之差，即
__________；
②把拆成两个分子为1的正的真分数之和，即__________．
（3）深入探究
定义“◆”是一种新的运算，若
，
，
，则
计算的结果是_________．
（4）拓展延伸
第一次用一条直径将圆周分成两个半圆（如图），在每个分点标上质数
，记2个数的和为
，第二次将两个半圆都分成
圆，在新产生的分点标相邻的已标的两个数的和的
，记4个数的和为
；第三次将四个圆分成
圆，在新产生的分点标相邻的已标的两个数的和的
，记8个数的和为
；第四次将八个圆分成
圆，在新产生的分点标相邻的已标的两个数的和的，记16个数的和为
；……如此进行了
次．
①
_________（用含、的代数式表示）；
②
，求
的值．
【答案】（1）
；
；（2）①
；②
；（3）
；（4）①
；②
．
【解析】
（1）观察发现：先根据题中所给出的列子进行猜想，写出猜想结果即可；根据第一空中的猜想计算出结果；
（2）利用
求解可得；
（3）根据
＝
计算可得；
（4）①由a1＝2k＝
k，a2＝4k＝
k，a3＝
k，a4＝10k＝
k可得an＝
k；
②由k＝2×2×5×13×17知k（n＋1）（n＋2）＝2×2×3×5×13×17＝5×51×52，据此可得k＝5，n＝50，再进一步求解可得．
（1）观察发现：；
；
故答案为：，．
（2）初步应用
①
；
②由
，得
，即
；
故答案为：，．
（3）
，
故答案为：；
（4）①∵
，
，
，
，……
∴
，
故答案为：．
②∵
，且
为质数，
对4420分解因数可知
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
．
津桥教育计算小状元系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】（1）（问题发现）如图1，
和
均为等边三角形，点
，
，
在同一条直线上.填空：①线段
，
之间的数量关系为______；②
_____°．
（2）（类比探究）如图2，和均为等腰直角三角形，
，
，
，点，，在同一条直线上，请判断线段，之间的数量关系及
的度数，并给出证明．
（3）（解决问题）如图3，在中，
，
，
，点在
边上，
于点，
，将绕点
旋转，当
所在直线经过点时，的长是多少？（直接写出答案）
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足∠PCA=∠ABC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）证明：
；
（3）若BC=8，tan∠AFP=
，求DE的长．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系中，点
，直线
与双曲线
交于点
，与
轴交于点
．探究：由双曲线与线段
围成的区域
内（不含边界）整点的个数（点的横、纵坐标都是整数的点称为整点）．①当
时，如图，区域内的整点的个数为_____；②若区域
内恰有4个整点，结合函数图象，则
的取值范围是_______
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示：
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均月收/千元 | 中位数/千元 | 众数/千元 | 方差/千元 | |
“美团” | ① | 6 | 6 | 1.2 |
“滴滴” | 6 | ② | 4 | ③ |
（1）完成表格填空：①__________②__________③__________
（2）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，双曲线
与直线
相交于
，点P是x轴上一动点．
（1）求双曲线与直线的解析式；
（2）当
时，直接写出x的取值范围；
（3）当
是等腰三角形时，求点P的坐标．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度
图中线段MN的长
，直线MN垂直于地面，垂足为点
在地面A处测得点M的仰角为
、点N的仰角为
，在B处测得点M的仰角为
，
米，且A、B、P三点在一直线上
请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．
参考数据：
，
，
，
，
，
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元？
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，四边形ABCD是矩形，点E在AD边上，点F在AD的延长线上，且BE=CF．
（1）求证：四边形EBCF是平行四边形．
（2）若∠BEC=90°，∠ABE=30°，AB=
，求ED的长．
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