Question

【题目】（1）（问题发现）如图1，和均为等边三角形，点，，在同一条直线上.填空：①线段，之间的数量关系为______；②_____°．

　　　　　　　　

（2）（类比探究）如图2，和均为等腰直角三角形，，，，点，，在同一条直线上，请判断线段，之间的数量关系及的度数，并给出证明．

（3）（解决问题）如图3，在中，，，，点在边上，于点，，将绕点旋转，当所在直线经过点时，的长是多少？（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）①，②60；（2），．证明见解析；（3）或．

【解析】

（1）根据等边三角形的性质推出，即可推出；，继而推出；

（2）首先根据和均为等腰直角三角形，，可得，，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可；

（3）分两种情形分别求解即可解决问题．

解：（1）∵和均为等边三角形，

∴

∴

∴

∴；

∵均等边三角形

∴

∴

∵

∴

∴.

故答案为：①，②60；

（2），.

理由如下：和均为等腰直角三角形，

∴，

，

∴，，

∵和中，

，，

∴，

∴，

又

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（3）①如图，当点B在线段ED的延长线上时，连接CD，取AB得中点H，连接EH、CH，

∵，H是AB的中点

∴

∴

∴点A、E、C、B四点在以H为圆心，以为半径的圆上

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∵在中，

∴

∴

∴；

②如图，当点B在线段DE的延长线上时，

同理可得，

∴．