Question

【题目】如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．

（1）求证：△DAF≌△DCE．

（2）求证：DE是⊙O的切线．

（3）若BF＝2，DH＝，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）20.

【解析】

（1）连接DF，结合菱形的性质利用SAS可证△DAF≌△DCE；

（2）由直径所对的圆周角是直角可知∠DFA=90°，由全等的性质与平行的性质可得∠ADE=90°，根据切线的判定定理可得结论；

（3）连接AH，由等腰三角形三线合一的性质可得DB=2DH，根据勾股定理可得AD、AF、DF长，易得四边形ABCD的面积．

（1）证明：如图，连接DF，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，

∵BF＝BE，

∴AB﹣BF＝BC﹣BE，

即AF＝CE，

∴△DAF≌△DCE（SAS）；

（2）由（1）知，△DAF≌△DCE，则∠DFA＝∠DEC．

∵AD是⊙O的直径，

∴∠DFA＝90°，∴∠DEC＝90°

∵AD∥BC，

∴∠ADE＝∠DEC＝90°，

∴OD⊥DE，

∵OD是⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线；

（3）解：如图，连接AH，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠AHD＝∠DFA＝90°，

∴∠DFB＝90°，

∵AD＝AB，DH＝，

∴DB＝2DH＝2，

在Rt△ADF和Rt△BDF中，

∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2，

∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，

∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，

∴AD2﹣（AD﹣2）2＝（2）2﹣22，

∴AD＝5．

∴AH＝＝＝2，

∴S四边形ABCD＝2S△ABD＝2×AH＝BDAH＝2×2＝20．即四边形ABCD的面积是20，

故答案为：20．