Question

【题目】在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，点和点关于直线对称，则称点是点关于轴，直线的二次对称点．

（1）如图1，点．

①若点是点关于轴，直线：的二次对称点，则点的坐标为________；

②若点是点关于轴，直线:的二次对称点，则的值为_______；

③若点是点关于轴，直线的二次对称点，则直线的表达式为__________；

（2）如图2，的半径为1.若上存在点，使得点是点关于轴，直绩:的二次对称点，且点在射线上，的取值范围是________；

（3）是轴上的动点，的半径为2，若上存在点，使得点是点关于轴，直线：的二次对称点，且点在轴上，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①（4，-1）；②2；③y=-x+1；（2）；（3）.

【解析】

（1）数形结合方法，直接结合图形求出即可；

（2）当M（-1，0）时，可求得b的最小值为，当点时，可求得b的最大值为；

（3）确定t取最大值或最小值时，唯一对称点的位置，反过来计算即可．

（1）如图1，

①∵A（0，1）；

∴点A关于x轴的对称点A′（0，-1），点A′（0，-1）关于直线l1：x=2的对称点为B（4，-1），

故答案为：（4，-1），

②∵A（0，1），

∴点A关于x轴的对称点A′（0，-1），点A′（0，-1）关于直线l2：y=2的对称点为C（0，5），

故答案为：2，

③∵点A关于x轴的对称点A′（0，-1），点A′（0，-1）与点D（2，1）关于直线l3对称，连接A′D，

∴直线l3⊥A′D，且平分A′D，易求得A′D的中点坐标为（1，0），易知：AD=AA′，
∴经过（0，1），（1，0）两点的直线即为直线l3，

∴y=-x+1；

故答案为：y=-x+1；

（2）如图2，

当M（-1，0）时，可求得b的最小值为，

当点时，可求得b的最大值为，

∴，

故答案为：；

（3）∵E（0，t）为⊙E的圆心，半径为2，过点E作EN′⊥l5交x轴于点N′，

设直线l5： 与x轴交点为M，则，当t取最大值时，依题意有：

，

解得：

设⊙E与y轴交点中最上方点为P，过P作PN″⊥l5交x轴于点N″，当t取最小值时有：

，

解得：t=1

∴．