Question

【题目】Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数 在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与直线AB：y= x+b交于点E（2，n）．

（1）m= ，点B的纵坐标为 ；（用含n的代数式表示）；

（2）若△BDE的面积为2，设直线AB与y轴交于点F，问：在射线FD上，是否存在异于点D的点P，使得以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）在（2）的条件下，现有一动点M，从O点出发，沿x轴的正方向，以每秒2个单位的速度运动，设运动时间为t（s），问：是否存在这样的t，使得在直线AB上，有且只有一点N，满足∠MNC＝45°？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）n； n+1；（2）P(5，1)．（3）t＝、t=20﹣6

．

【解析】（1）∵点E（2，n）和点D（4，m）在反比例函数 的图象上，∴k=2n，k=4m，∴4m=2n，∴m=n，∵点E（2，n）在直线 上，∴点E的坐标是（2，1+b），∴1+b=n，∴b=n﹣1，∵点B的横坐标是4，点B在直线上，∴点B的坐标是（4，2+b），∴点B的纵坐标是2+n﹣1=n+1；

故答案为：n；n+1．

（2）∵E（2，n），D（4，n），B（4，n+1），由S△BDE=2得×（n+1）×2＝2解得n＝2．此时直线AB为y=x+1，A（－2，0）、F（0，1）．

同时，B（4，3），D（4，1），C（4，0）．∴FD∥AC．

射线FD上，异于点D的点P，使得以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，只可能为△BFP∽△CAB．

∴，，解得FP＝5．从而可得P（5，1）．

（3）以MC为斜边，作等腰直角△QMC，则以Q为圆心、QM为半径的⊙Q，与直线AB的公共点N恰好符合∠MNC＝45°．由题意知，在直线AB上，有且只有一点N，满足∠MNC＝45°，∴⊙Q恰好与AB相切．∴点Q到AB的距离d＝QM＝ MC．

①运动t（s）时，M（2t，0）．当点M在C点左侧时，则MC＝4－2t．

由S△QAB＋S△QAC＋S△QBC＝S△ABC可得

×3× （4－2t）＋×6× ＋×3×＝×6×3．解得t＝．

②当M在C点右侧时，则MC＝2t－4．利用S△QAB＋S△QAC——S△QBC＝S△ABC，

同理可得t＝ ．