【题目】如图,已知抛物线y=ax2+ x+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于丁C,且A(2,0),C(0,﹣4),直线l:y=﹣ x﹣4与x轴交于点D,点P是抛物线y=ax2+x+c上的一动点,过点P作PE⊥x轴,垂足为E,交直线l于点F.
(1)试求该抛物线表达式;
(2)求证:点C在以AD为直径的圆上;
(3)是否存在点P使得四边形PCOF是平行四边形,若存在求出P点的坐标,不存在请说明理由。
【答案】(1)y= x2+ x﹣4;(2)见解析;(3)(﹣,﹣)或(﹣8,﹣4).
【解析】试题分析:(1)将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可得到关于a、c的方程组,然后解方程组求得a、c的值即可;
(2)求出D点坐标,根据两点间距离公式分别求出AD、AC、CD的长,然后根据勾股定理的逆定理证明出△ADC为直角三角形即可得出结论;
(3)设P(m,m2+m-4),则F(m,-m-4),则PF=-m2-m,当PF=OC时,四边形PCOF是平行四边形,然后依据PF=OC列方程求解即可.
试题解析:
(1)解:由题意得: ,解得: ,
∴抛物线的表达式为y= x2+ x﹣4.
(2)证明:把y=0代入y=﹣ x﹣4得:﹣ x﹣4=0,
解得:x=﹣8.
∴D(﹣8,0).
∴OD=8.
∵A(2,0),C(0,﹣4),∴AD=2﹣(﹣8)=10.
由两点间的距离公式可知:AC2=22+42=20,DC2=82+42=80,AD2=100,
∴AC2+CD2=AD2 .
∴△ACD是直角三角形,且∠ACD=90°,
∴点C在以AD为直径的圆上;
(3)解:设P(m, m2+ m﹣4),则F(m,﹣ m﹣4).
∴PF=(﹣ m﹣4)﹣( m2+ m﹣4)=﹣ m2﹣ m.
∵PE⊥x轴,∴PF∥OC.
∴PF=OC时,四边形PCOF是平行四边形.
∴﹣ m2﹣ m=4,解得:m=﹣ 或m=﹣8.
当m=﹣ 时, m2+ m﹣4=﹣ ,
当m=﹣8时, m2+ m﹣4=﹣4.
∴点P的坐标为(﹣ ,﹣ )或(﹣8,﹣4).
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【题目】随着人们生活水平的提高,家用轿车越来越多地进入家庭,王先生家中买了一辆小轿车,他连接记录了7天中每天行驶的路程(如下表),以50km为标准,多于50km的记为“+”,不足50km的记为“-”,刚好50km的记为“0”.
(1)请求出这七天中平均每天行驶多少千米?
(2)若每行驶100km需用汽油6升,汽油价5.8元/升,请估计王先生家一个月(按30天计)的汽油费用是多少元?
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【题目】如图所示,天津电视塔顶部有一桅杆部分AB,数学兴趣小组的同学在距地面高为4.2m的平台D处观测电视塔桅杆顶部A的仰角为67.3°,观测桅杆底部B的仰角为58°.已知点A,B,C在同一条直线上,EC=172m.求测得的桅杆部分AB的高度和电视塔AC的高度.(结果保留小数点后一位).
参考数据:tan67.3°≈2.39,tan60°≈1.73.
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【题目】某体院要了解篮球专业学生投篮的命中率,对学生进行定点投篮测试,规定每人投篮20次,测试结束后随机抽查了一部分学生投中的次数,并分为五类,Ⅰ:投中11次;Ⅱ投中12次;Ⅲ:投中13次;Ⅳ:投中14次;Ⅴ:投中15次.根据调查结果绘制了下面尚不完整的统计图1、图2:
回答下列问题:
(1)本次抽查了 名学生,图2中的m= .
(2)补全条形统计图,并指出中位数在哪一类.
(3)求最高的命中率及命中最高的人数所占的百分比.
(4)若体院规定篮球专业学生定点投篮命中率不低于65%记作合格,估计该院篮球专业210名学生中约有多少人不合格.
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【题目】有这样一对数,如下表,第个数比第n个数大2(其中n是正整数)
第1个 | 第2个 | 第3个 | 第4个 | 第5个 | …… |
a | b | c |
(1)第5个数表示为______;第7个数表示为_______.
(2)若第10个数是5,第11个数是8,第12个数为9,则a=______,b=_____,c=______.
(3)第2019个数可表示为________.
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【题目】某公司从2014年开始投入技术改进资金,经技术改进后,其产品的成本不断降低,具体数据如下表:
年 度 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
投入技改资金(万元) | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
产品成本(万元/件) | 7.2 | 6 | 4.5 | 4 |
(1)请你认真分析表中数据,从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律,给出理由,并求出其解析式;
(2)按照这种变化规律,若2017年已投入资金5万元.
①预计生产成本每件比2016年降低多少万元?
②若打算在2017年把每件产品成本降低到3.2万元,则还需要投入技改资金多少万元?(结果精确到0.01万元).
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【题目】为了有效控制酒后驾车,某天黄石交警大队的一辆警车在东西方向的花湖大道上巡视,警车从某地A处出发,规定向东方向为正,当天行驶纪录如下(单位:千米)
+10,-9,+7,-15,+6,-5,+4,-2
(1)此时,这辆巡逻的汽车司机如何向队长描述他的位置?
(2)如果警车行驶1千米耗油0.2升,油箱有油10升,现在警车要回到出发点A处,那么油箱的油够不够?若不够,途中至少需补充多少升油?
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为6,点E为BC的中点,点F在AB边上,,H在BC延长线上,且CH=AF,连接DF,DE,DH。
(1)求证DF=DH;
(2)求的度数并写出计算过程.
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【题目】已知三角形的第一边长为a2-2ab+b2,第二边比第一边的3倍少3,三角形的周长是5a2-7ab+5b2-1.
(1)求这个三角形的第三边长;
(2)当a=,b=-3时,求第三边长.
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