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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+ x+cx轴交于A,B两点,与y轴交于丁C,且A(2,0),C(0,﹣4),直线l:y=﹣ x﹣4x轴交于点D,点P是抛物线y=ax2+x+c上的一动点,过点PPEx轴,垂足为E,交直线l于点F.

(1)试求该抛物线表达式;

(2)求证:点C在以AD为直径的圆上;

(3)是否存在点P使得四边形PCOF是平行四边形,若存在求出P点的坐标,不存在请说明理由。

【答案】(1)y= x2+ x﹣4;(2)见解析;(3)(﹣,﹣)或(﹣8,﹣4).

【解析】试题分析:(1)将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可得到关于ac的方程组,然后解方程组求得ac的值即可;

(2)求出D点坐标,根据两点间距离公式分别求出ADACCD的长,然后根据勾股定理的逆定理证明出△ADC为直角三角形即可得出结论;

(3)Pmm2m-4),则F(m,-m-4),则PF=-m2m,当PFOC时,四边形PCOF是平行四边形,然后依据PFOC列方程求解即可

试题解析:

(1)解:由题意得: ,解得:

∴抛物线的表达式为y x2 x﹣4.

(2)证明:把y0代入yx﹣4得:﹣ x﹣40,

解得:x﹣8.

D(﹣8,0).

OD8.

A(2,0),C(0,﹣4),AD2﹣(﹣8)10.

由两点间的距离公式可知:AC2224220,DC2824280,AD2100,

AC2CD2AD2

∴△ACD是直角三角形,且∠ACD90°,

∴点C在以AD为直径的圆上;

(3)解:设Pmm2 m﹣4),则F(m,﹣ m﹣4).

PF(﹣ m﹣4)﹣( m2 m﹣4)m2m

PEx轴,∴PFOC

PFOC时,四边形PCOF是平行四边形.

m2m4,解得:mm﹣8.

m时, m2 m﹣4

m﹣8时, m2 m﹣4﹣4.

∴点P的坐标为(﹣ ,﹣ )或(﹣8,﹣4).

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1

2

3

4

5

……

a

b

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2013

2014

2015

2016

投入技改资金(万元)

2.5

3

4

4.5

产品成本(万元/件)

7.2

6

4.5

4

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2)按照这种变化规律,若2017年已投入资金5万元.

①预计生产成本每件比2016年降低多少万元?

②若打算在2017年把每件产品成本降低到3.2万元,则还需要投入技改资金多少万元?(结果精确到0.01万元).

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