Question

【题目】在平面直角坐标系中．抛物线y=﹣x2+4x+3与y轴交于点A，抛物线的对称轴与x轴交于点B，连接AB，将△OAB绕着点B顺时针旋转得到△O'A'B．

（1）用配方法求抛物线的对称轴并直接写出A，B两点的坐标；

（2）如图1，当点A'第一次落在抛物线上时，∠O'BO=n∠OAB，请直接写出n的值；

（3）如图2，当△OAB绕着点B顺时针旋转60°，直线A'O'交x轴于点M，求△A'MB的面积；

（4）在旋转过程中，连接OO'，当∠O'OB=∠OAB时．直线A'O'的函数表达式是　　．

Answer 1

【答案】（1）对称轴为x=2，A（0，3），B（2，0）；（2）n=2；（3）；（4）．

【解析】

（1）配方写成顶点式即可得到对称轴，从而求出B的坐标；
（2）利用抛物线的对称性易知△BFA′≌△BOA，从而推导出∠O'BO与∠OAB的关系；
（3）延长A'O'与x轴交于M，构造特殊的直角三角形，先求出MO′，再求△A′MB的面积；
（4）连接OO'与AB交于C，作O'E⊥x轴于E，可得△AOB∽△OEO′～△OCB，再利用对应边成比例可求出OC，O′E，OE，再求出A′O′的解析式．

（1）y=﹣x2+4x+3=﹣（x﹣2）2+7

所以对称轴为x=2，所以B（2，0）

当x=0时，y=3，

所以A（0，3）；

（2）作A'F⊥x轴于F，由于二次函数的对称性，

得OB=FB，AO=A'F

∵∠AOB=∠A'FB=90°，

∴△BFA'≌△BOA，设∠OAB＝α，

则∠O′BO＝180°(∠FBA′+∠O′BA′)＝180°(90°－α+90°－α)＝2α，

所以n=2；

（3）延长A'O'与x轴交于M，

∵∠MBO′＝60°，O′B＝OB＝2，

∴MO′＝2
∴S△A′MB＝(MO′+O′A′)O′B=2+3；
（4）连接OO'与AB交于C，作O'E⊥x轴于E，

所以△AOB∽△OEO′～△OCB，
所以 ，

∴OC＝ ，

同理可得：O′E＝，OE＝，
所以O′()，B(2，0)，，
所以kO′A′＝，
所以A′O′：y＝x+3．