Question

【题目】如图，在ABC中，AB＝BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．

（1）试证明DE是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为5，AC＝6，求此时DE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）3

【解析】

（1）连接OD、BD，求出BD⊥AD，AD=DC，根据三角形的中位线得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；

（2）先利用勾股定理求出BD的长，证得Rt△CDE和Rt△ABD，利用对应边成比例即可求解．

（1）证明：连接OD，BD，

∵AB为⊙O的直径，

∴BD⊥AD，

又∵AB=BC，△ABC是等腰三角形，

∴AD=DC，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥BC，

又DE⊥BC，

∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切线；

（2）由（1）知，BD是AC边上的中线，AC=6，

得AD=CD=3，

∵⊙O的半径为5，

∴AB=10，

在Rt△ABD中，BD=，

∵AB=BC，

∴∠A=∠C，

在Rt△CDE和Rt△ABD中，

∵∠DEC=∠ADB=90°，∠C=∠A，

∴Rt△CDE∽Rt△ABD，

∴，即，

解得：DE=3．