Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，一动点P从点B出发，沿BC方向以1cm/s的速度向C移动，另一动点Q从点C出发，沿CA方向以2cm/s的速度向点A移动，点P、Q同时开始移动多少时间后，△CPQ与△CAB相似？

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：几何动点问题

分析：设运动时间为ts，则可知BP=t，CP=6-t，CQ=2t，当△CPQ和△CAB相似时，可知∠CPQ=∠B或∠CPQ=∠A，则有

CP

CB

=

CQ

CA

或

CP

CA

=

CQ

CB

，分别代入可得到关于t的方程，可求得t的值．

解答：解：设运动时间为ts，则BP=t，CP=6-t，CQ=2t，
∵∠PCQ=∠ACB=90°，
∴当△CPQ和△CAB相似时，有∠CPQ=∠B或∠CPQ=∠A，
当∠CPQ=∠B时，则有

CP

CB

=

CQ

CA

，即

6-t

6

=

2t

8

，解得t=2.4；
当∠CPQ=∠A时，则有

CP

CA

=

CQ

CB

，即

6-t

8

=

2t

6

，解得t=

18

11

．
综上可知当点P、Q同时运动2.4秒或

18

11

秒后，△CPQ和△CAB相似．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，只有相似没有对应时应分情况讨论．注意方程思想的运用，用时间表示出线段的长度，化动为静是解决这类问题的思路．